Analytische Torsion von (2,3,5) Distributionen

Ein Ball, der ohne Schlupf und Drall auf einer Fläche rollt, bildet ein physikalisches System, dem eine faszinierende 5-dimensionale Geometrie zugrunde liegt. Die möglichen Konfigurationen eines Balls auf einer Fläche bilden eine 5-dimensionale Mannigfaltigkeit. Die "weder Schlupf noch Drall" Bedingung kann durch eine sogenannte (2,3,5) Distribution auf diesem Konfigurationsraum beschrieben werden, die auch unter dem Namen "generische Distribution in fünf Dimensionen" bekannt ist. Die Geschichte dieser Geometrie lässt sich bis zu einer wegweisenden Arbeit von Élie Cartan aus dem Jahre 1910 zurück verfolgen. In den letzten beiden Jahrzehnten entwickelte sich reges Interesse an der Geometrie dieser Distributionen, das vorwiegend auf die Erforschung ihrer lokalen Eigenschaften fokusiert war. In diesem Projekt untersuchen wir globale Aspekte von (2,3,5) Distributionen, indem wir ihre spektralen Eigenschaften studieren. Einer (2,3,5) Distribution kann in natürlicher Weise eine Folge von Differentialoperatoren zugeordnet werden, die als Rumin Komplex bezeichnet wird. Das Spektrum dieses Rumin Komplexes besteht aus einer diskreten Menge von Frequenzen, die globale Aspekte der Geometrie in subtiler Weise widerspriegeln. Wir untersuchen zwei Spektralinvarianten, die aus diesem Frequenzspektrum extrahiert werden können: die analytische Torsion und die Eta- Invariante. Analoga dieser Spektralinvarianten in der Riemannschen Geometrie wurden umfassend untersucht. Berühmte Resultate bringen sie in Beziehung mit topologischen und geometrischen Eigenschaften der Riemann-Metrik. Wir werden die sub-Riemannsche Limes Technik verwenden, um Resultate für (2,3,5) Distributionen aus dem Riemannschen Fall abzuleiten. Diese Methode hat sich im Kontext anderer Geometrien gut bewährt. Ein Hauptziel dieses Projekts ist die Adaptierung der sub- Riemannschen Limes Technik für (2,3,5) Distributionen. Die wesentliche Idee dabei ist, die Riemann-Metrik so zu reskalieren, dass die Geometrie der Distribution im asymptotischen Verhalten Niederschlag findet. Eine unsere Untersuchungen motivierende, grundlegende Frage lautet: Welche 5-dimensionalen Mannigfaltigkeiten können mit einer (2,3,5) Distribution ausgestattet werden? Es gibt wohlbekannte topologische Obstruktionen für deren Existenz. Wir wollen verstehen, ob die Geometrie weitere, subtilere Obstruktionen liefert.