Nullstellendynamik und endliche freie Wahrscheinlichkeit

Universalität ist ein Konzept aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Physik, bei dem bestimmte, weit verbreitete Verhaltensweisen eines Systems in zahlreichen verschiedenen Kontexten beobachtet werden können, d. h. diese Verhaltensweisen sind universell und hängen nicht von den genauen Einzelheiten der Konstruktion des Systems ab. Ein klassisches Beispiel ist das Gesetz der großen Zahlen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, bei dem der Durchschnitt einer großen Anzahl unabhängiger Stichproben sehr nahe am tatsächlichen Mittelwert liegt, unabhängig von der zugrunde liegenden Verteilung, aus der sie gezogen wurden. In den letzten zwei Jahrzehnten wurde eine große Anzahl von Universalitätsergebnissen auf dem Gebiet der Zufallsmatrixtheorie bewiesen, die eine Kombination von Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischer Physik ist. Unser Ziel ist es, die Zufallsmatrixtheorie für den Nachweis von Universalitätsergebnissen in Bereichen der Mathematik zu nutzen, die auf den ersten Blick recht weit von der Wahrscheinlichkeitstheorie entfernt sind. Einerseits werden seit Jahrzehnten Verbindungen zwischen der Zufallsmatrixtheorie und anderen Gebieten der Mathematik, wie der Kombinatorik und der analytischen Zahlentheorie, erforscht. Andererseits werden diese Verbindungen oft für Probleme formuliert, die mit Zufälligkeit zu tun haben, oder gelten nur heuristisch. Wir werden Werkzeuge und Techniken aus der neu entwickelten endlichen freien Wahrscheinlichkeit (finite free probability) verwenden, bei der Operationen auf allgemeinen mathematischen Objekten durch Mittelung über Zufallsmatrizen beschrieben werden, um Universalitätsprinzipien für die Nullstellendynamik von Polynomen und analytischen Funktionen aufzustellen.