Geometrie und Phasen auf elastisch-fluidischen Biomembranen

Das Interesse an der Modellierung von Zweiphasen-Biomembranen ist in den letzten Jahren kontinuierlich gewachsen und hat viele Forscher:innen unterschiedlicher Wissenschaftsbereiche angezogen. Biomembranen stellen die grundlegende Trennstruktur in eukaryotischen Zellen dar, nämlich die Struktur, die das Zellinnere vom Zelläußeren trennt. Ihr besonderes Verhalten verbindet die Mechanik von Festkörpern (Krümmung oder Elastizität) mit der von Flüssigkeiten. Dies bedeutet, dass biologische Membranen mathematisch als verformbare, nicht dehnbare Fluidoberflächen behandelt werden können, die durch Biegeenergien gesteuert werden, die die Krümmung der Membran mit sich bringen. Das Fluidverhalten von Biomembranen ist die Grundlage des Lipid-Raft- Bildungsphänomens, das die Trennung der Lipide auf der Membran in zwei nicht mischbare flüssige Phasen beinhaltet und zur Bildung von flüssigkeitsgeordneten Phasenplattformen führt, die Rafts genannt werden; es wird wird angenommen, dass diese bei einer Vielzahl biologischer Prozesse eine wichtige Rolle spielen. Zurück zur mathematischen Modellierung: wenn diese Lipidflöße vorhanden sind, d.h. wenn es mindestens zwei flüssige Phasen auf der Membran gibt, hängen die mit der elastischen Zellmembran verbundenen Biegeenergien von den einzelnen Phasen ab, und die lokale Form der Membran variiert je nach Phase. Zur mathematischen Untersuchung biologischer Membranen wurden immer mehr Arbeiten zu neuen Modellen und numerischen Ergebnissen erstellt. Dennoch hat ihre mathematische Analyse nicht Schritt gehalten und viele Probleme bleiben ungelöst. Daher zielt dieses Projekt darauf ab, durch die Weiterentwicklung eines soliden theoretischen Rahmens für die entstehende numerische Literatur zur Biomembranmodellierung wieder Fuß zu fassen. Insbesondere wird es die Welt der klassischen Phasenfeldmodelle auf flachen Domänen mit geometrischen Vorstellungen im Zusammenhang mit kompakten Oberflächen verbinden. Die Hauptziele dieses dreijährigen Projekts sind dann die folgende.. Zunächst werden wir uns mit der Zweckmäßigkeit schwacher und starker Lösungen für hydrodynamische Phasenfeldmodelle auf zweidimensionalen Oberflächen befassen, die sich mit a priori vorgeschriebener Bewegung entwickeln. Wir werden auch die Analyseergebnisse vergleichen, die für verschiedene Modellierungsoptionen erzielt wurden. Zweitens zielen wir darauf ab, einen geeigneten analytischen Rahmen für die Analyse des Langzeitverhaltens der Lösungen für dieselben Probleme zu etablieren. Wir werden uns nämlich mit der Untersuchung der Konvergenz zu Gleichgewichten und der Existenz richtig definierter Attraktoren befassen. Abschließend werden wir uns mit der Existenz und möglicherweise Eindeutigkeit von Lösungen für einige freie Randwertprobleme für Phasenfeldmodelle auf einer in eine Flüssigkeit eingetauchten Biomembran befassen. In diesem Fall wird die Entwicklung der Membranoberfläche nicht a priori bestimmt, sondern durch das Modell selbst vorgegeben.