Heterogenität und Periodizität in der dynamischen Optimierung

Heterogenität kann in der Entwicklung von Populationen, ökonomischen Systemen, epidemischen Krankheiten oder z.B. physikalischen Systemen eine substanzielle Rolle spielen. Während dies im Kontext von Populationen oder der Physik bereits anerkannt wird, ist die Untersuchung der Rolle von Heterogenitäten in der Ökonomie ein moderner, sich schnell entwickelnder Bereich. Dynamische Optimierungsprobleme für heterogene Systems sind erstmalig in den 80er-Jahren in der Literatur für Populationsdynamiken erschienen. Die Entwicklung der entsprechenden mathematischen Theorie im letzten Jahrzehnt hat ein neues, mächtiges Forschungsinstrument erschaffen, welches auch in der Ökonomie, dem Management oder den Sozialwissenschaften anwendbar ist. In diesem Antrag werden heterogene Kontrollsysteme mathematisch durch kontrollierte Differentialgleichungen erster Ordnung mit verteilten Parametern beschrieben, die nicht-lokale Dynamiken und endogene Nebenbedingungen aufweisen. Die theoretischen Untersuchungen innerhalb des vorliegenden Projektes sind durch verschiedene Probleme in der Ökonomie und dem Management motiviert, welche mittels der existierenden Theorie nicht behandelt werden können. Eines dieser Probleme besteht in der Charakterisierung des optimalen Trade-Offs zwischen Investitionen in Kapitalakkumulation versus technologischen Fortschritt. Die Heterogenität beruht hier auf der simultanen Verfügbarkeit einer Vielfalt von Technologien und Konsumgütern. Beide Varietäten hängen dynamisch von den Investitionen in Forschung und Entwicklung (F&E) ab. Die größte Herausforderung besteht hier in der Analyse der bestimmenden Faktoren für technologischen Wandel, insbesondere der Rolle der demographischen Faktoren für den technologischen Fortschritt. Dieses Problem erfordert die Entwicklung einer optimalen Kontrolltheorie für heterogene Systeme, für die der Bereich der Heterogenität dynamisch von der Kontrollpolitik abhängt. Dies ist das erste theoretische Hauptziel des Projektes, das Optimalitätsbedingungen, numerische Methoden und Berechnungsinstrumente, insbesondere für Probleme mit unendlichem Zeithorizont, beinhaltet. Das Projekt beinhaltet eine zweite Anwendung der in diesem Teil entwickelten Theorie und Software, und zwar die Untersuchung der folgenden fundamentalen Frage im Kontext des Klimawandels und der globalen Erwärmung: Kann die sozial optimale Politik zur Verringerung von Treibhausgasen ohne irgendwelche direkten Emissionsrestriktionen "implementiert" werden, indem nur die Komposition der Investitionen in F&E gesteuert wird? Nachdem die Heterogenität hier auf der Koexistenz von Technologien mit verschiedenen Produktivitäten und Emissionsraten beruht, hängt der Heterogenitätsbereich von der Investitionspolitik ab. Ein zweites theoretisches Projektziel besteht in der Entwicklung mathematischer (analytischer und numerischer) Instrumente zur Untersuchung optimaler zyklischer heterogener Prozesse. Eine besonders wichtige Motivation für diese Studie ist die industrielle Fischerei in den Ozeanen. Es wurde beobachtet, dass selektives industrielles Fischen zu schnellen schädlichen evolutionären Veränderungen führt. Ein Modell, welches simultan den selektiven Fischfang (hinsichtlich der Größe) und evolutionäre Veränderungen berücksichtigen kann, benötigt mindestens zwei Heterogenitätsparameter: Größe und genetische Parameter. Es gibt gewisse praktische und mathematische Hinweise darauf, dass die optimale Fischereipolitik in dem entsprechenden heterogenen optimalen Kontrollmodell zyklisch ist, und die angepeilten theoretischen Resultate sollten Bedingungen für zyklisches Verhalten und eine effiziente Berechnung der optimalen Lösung ermöglichen. Beispiele für verschiedene andere Anwendungsbereiche der beiden theoretischen Ziele sind: mehrstufige dynamische Optimierungsprobleme mit zufälligen Ereignissen, Optimierung von Advektions-Reaktions-Prozessen, Gesundheitsökonomie, Wirtschaftsgeographie, etc.

Heterogenität ist eine wesentliche Eigenschaft der meisten existierenden ökologischen, ökonomischen und sozialen Systeme. Die Heterogenitätsparameter von Bevölkerungs-systemen können zum Beispiel Alter, Gesundheit, Wohlstand, Vorlieben, etc. sein. In einem ökonomischen Kontext kann Heterogenität durch die Vielfalt von existierenden Produktions- oder Produkttechnologien begründet sein; da diese Vielfalt von den getätigten F&E Investitionen abhängt, verwenden wir hier heterogene Modelle, bei denen der Bereich der Heterogenität kontrollierbar ist. Derartige Modelle werden auch in der sich aktuell entwickelnden Raumfahrtsökonomie (space economics) verwendet. Das allgemeine Ziel dieses Projektes ist es, die Optimierungstheorie für heterogene dynamische Systeme in zwei Richtungen zu erweitern: (i) für Probleme, bei denen der Heterogenitätsbereich von Entscheidungsvariablen (Kontrollen) abhängt; (ii) für Probleme, welche periodische Kontrollen beinhalten. Dieses Ziel ist durch zahlreiche Anwendungen in Ökonomie und Populationsdynamiken motiviert, wobei die bisher existierende Theorie keine effizienten Lösungswerkzeuge bieten konnte.Für die in diesem Projekt durchzuführenden Untersuchungen wurden innovative Erweiterungen zur Optimalen Kontrolltheorie und zu den numerischen Methoden für partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, bei denen die räumliche Komponenten (der Bereich der Heterogenität) endogen modelliert sind, erarbeitet. Ein zusätzlich zentrales Ergebnis des Projektes ist ein neuer Ansatz zur Formulierung eines vollständigen Satzes von notwendigen Optimalitätsbedingungen für Probleme mit unendlichem Zeithorizont; dieses Ergebnis liefert auch einen wichtigen Beitrag zur klassischen Theorie der optimalen Kontrolle von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Diese Ergebnisse verwendend erhielten wir wichtige Einsichten bei mehreren ökonomischen Problemen. Speziell lösten wir ein Problem der optimalen Zuweisung von Investitionen zu Kapitalakkumulation versus F&E. In einem Gleichgewichtsmodell erweitert mit einer endogen wachsenden Produktvielfalt zeigten wir, dass die Alterung der Verbrauchsgegenstände wesentlich für die Beschränktheit der Schere zwischen Sparen und Investition ist. Weiters untersuchten wir optimales Ernten von Bioressourcen, wo die Heterogenität entweder durch Alter/Größe oder durch (physische) räumliche Komponenten bedingt ist. Wir erbrachten den Nachweis, dass Heterogenität für das Auftreten von zyklischen optimalen Lösungen, unter anderem charakterisiert durch Erholungsphasen der Ressource, verantwortlich ist.Einige ergänzende Untersuchungen befassen sich mit Lebenszyklenmodellen erweitert um Gesundheitsinvestitionen oder Ausbildungsstrategien, mit optimaler Emissionsminderung unter heterogenen Agenten, mit Modellen zum Handel von Emissionsgenehmigungen mit Vintage-Kapital Komponenten, sowie mit optimalen Einwanderungsaltersstrukturen.