Regelung verteiltparametrischer Systeme mittels Normalformen

In der Regelungstechnik und Systemtheorie wird das zeitliche Verhalten technischer Systeme analysiert und nach Möglichkeiten gesucht, dieses Verhalten gezielt zu beeinflussen. Dies geschieht zweckmäßigerweise auf der Basis mathematischer Modelle der zugrundeliegenden (physikalischen) Vorgänge. Die Modelle liegen meist in Form von Differentialgleichungen vor, mit denen sich die kontinuierlich ablaufenden zeitlichen Veränderungen im System beschreiben lassen. Oftmals genügt es, in den Modellen die zeitliche Änderung einer endlichen Anzahl von Größen abzubilden, z.B. der Position und der Geschwindigkeit eines Fahrzeugs oder der mittleren Temperatur eines Werkstücks. In der Regelungstechnik werden solche Systeme als Systeme mit örtlich konzentrierten Parametern (SkP) bezeichnet und durch gewöhnliche Differentialgleichungen (gDgln) beschrieben. In anderen Anwendungen ist es notwendig, nicht nur die Zeitabhängigkeit der Größen im System zu berücksichtigen, sondern auch die Ortsabhängigkeit explizit in die Modellierung einzubeziehen, beispielsweise wenn die Temperaturverteilung in einem Werkstück oder die Verkehrsdichte entlang einer Straße von Interesse ist. Solche Systeme werden als Systeme mit örtlich verteilten Parametern (SvP) bezeichnet. Sie sind Gegenstand dieses Forschungsvorhabens. Zur Beschreibung von SvP benötigt man partielle Differentialgleichungen (pDgln), die hinsichtlich der zugrundeliegenden Mathematik wesentlich anspruchsvoller sind als gDgln. Daher wird häufig versucht, SvP durch SkP zu approximieren, indem z.B. die ortsabhängigen Größen nur an einzelnen Punkten betrachtet werden. Dabei können jedoch wesentliche Eigenschaften der Systeme verloren gehen. Zudem führt dieser Ansatz auf Modelle mit sehr vielen Systemgrößen, die häufig nur mit numerischen Methoden handhabbar sind. Im Forschungsprojekt wird daher ein Ansatz verfolgt, bei dem die ursprüngliche Beschreibung der SvP durch pDgln beibehalten wird. Dabei liegt der Fokus auf sogenannten Normalformen, die sich durch äquivalente Umformungen der Systemgleichungen ergeben und meist eine besonders einfache Analyse der Systemeigenschaften und Lösung von Entwurfsaufgaben ermöglichen. Konkret werden Regler entworfen, die das Systemverhalten gezielt beeinflussen, und Beobachter, die anhand von Messdaten Informationen über das System liefern, die nicht direkt gemessen werden. Für SkP gehören sowohl die Normalformen und als auch die zugehörigen Analyse- und Entwurfsmethoden zum Standardrepertoire der Regelungstechnik, für SvP werden sie seit einiger Zeit intensiv weiterentwickelt. Im Rahmen des Forschungsprojektes kommen insbesondere die Backstepping-Methode und der flachheitsbasierte Entwurf zum Einsatz. Ziel ist es, diese Methoden noch besser als bisher zu verstehen und damit für neue Klassen von SvP zu erschließen, nicht zuletzt durch Ausnutzung ihrer Gemeinsamkeiten und Unterschiede. Dabei liegt ein Schwerpunkt in der Erarbeitung systematischer, leicht anwendbarer Entwurfsalgorithmen.