Hessische Ungleichungen und Erweiterungen auf Sobolev-Räumen

Unter allen geometrischen Figuren der Ebene hat der Kreis die Eigenschaft, dass er bei vorgegebenem Umfang den größtmöglichen Flächeninhalt aufweist. Ähnlich dazu hat im dreidimensionalen Raum eine Kugel das größtmögliche Volumen bei vorgegebener Oberfläche. Dieser Sachverhalt wird allgemein in der Mathematik durch die sogenannte isoperimetrische Ungleichung ausgedrückt. Diese wiederum ist ein Spezialfall noch allgemeinerer Volumsungleichungen. Vor kurzem wurde das Konzept der Oberfläche sowie ähnlicher verwandter Kenngrößen von geometrischen Figuren bzw. Körpern auf konvexe Funktionen erweitert. Dies ist unter dem Namen Hessische Bewertungen bekannt. Ziel des Projekts ist es nun, die für geometrische Objekte bekannten Volumsungleichungen auf die neuen Hessischen Bewertungen zu verallgemeinern. Weiters sollen sowohl die Hessischen Bewertungen als auch die neuen Ungleichungen auf eine noch größere Klasse von Funktionen ausgedehnt werden. Dabei erhofft man sich nicht nur neue Einblicke und Anwendungen für Funktionen selbst, sondern auch neue Zugänge für Probleme im Zusammenhang mit den klassischen Volumsungleichungen.

Volumen und Oberfläche sind natürliche Größen, die man einer Form zuordnen kann, um ihre Größe zu messen. Diese Kenngrößen werden durch die inneren Volumina verallgemeinert, welche zentrale Objekte in der konvexen und integralen Geometrie sind, wo sogenannte konvexe Körper untersucht werden. Kürzlich wurden funktionale innere Volumina auf konvexen Funktionen eingeführt. Diese Operatoren assoziieren eine Zahl mit einer gegebenen konvexen Funktion und dienen als funktionale Analoga der inneren Volumina. Die wissenschaftliche Voraussetzung dieses Projekts basiert auf der Tatsache, dass die klassischen inneren Volumina einige bekannte und bedeutende Ungleichungen erfüllen, wie z. B. die isoperimetrische Ungleichung. Es ist daher nur natürlich zu fragen, ob ähnliche Ungleichungen auch für ihre neuen funktionalen Gegenstücke gelten. Obwohl sich herausstellte, dass solche vermuteten Ungleichungen in der funktionalen Welt nicht gelten, bieten die Ergebnisse dieses Projekts dennoch viele neue, spannende Einblicke in funktionale innere Volumina. Ein Hauptresultat dieses Projekts ist eine neue Cauchy-Kubota Formel für konvexe Funktionen, die eine weitreichende Verallgemeinerung einer klassischen, auf Cauchy zurückgehenden Formel aus dem 19. Jahrhundert darstellt. Diese Formel ermöglicht nicht nur neue Darstellungen der funktionalen inneren Volumina, sondern erklärt auch die möglichen Singularitäten der Dichtefunktionen, die in ihren Definitionen auftreten. Eine neue funktionale Version der klassischen Steiner-Formel bietet eine neue Möglichkeit, funktionale innere Volumina als Koeffizienten eines natürlich vorkommenden Polynoms zu definieren und erlaubt es zudem, diese Operatoren mit Hilfe spezieller gemischter Monge-Ampère-Maße zu beschreiben. Nicht zuletzt können die Ergebnisse des Projekts auch erklären, warum die ursprünglich vermuteten Ungleichungen nicht gelten. Nichtsdestotrotz wurden neue Ungleichungen vom Wulff-Typ für funktionale innere Volumina gefunden.