Geometrische Aspekte zufälliger Information

In diesem Projekt beschäftigen wir uns mit dem Studium von zufälliger Information von einer geometrischen Perspektive aus. Hierbei bezeichnet "Information" eine endliche Menge von Messungen, die wir auf uns nur teilweise bekannte Objekte anwenden. Beispielsweise betrachten wir Auswertungen von Funktionen an zufälligen Punkten in ihrem Definitionsbereich oder Projektionen von hoch-dimensionalen konvexen Mengen auf zufällige ein-dimensionale Unterräume. Die Qualität der erhaltenen Information bestimmt sich für ein gegebenes numerisches Problem durch den Fehler der bestmöglichen Lösungsmethode basierend auf dieser Information. Die Qualität zufälliger Information ist für einige interessante Probleme, wie der Näherung von speziellen Funktionen oder hoch-dimensionalen Mengen, mit hoher Wahrscheinlichkeit ungefähr vergleichbar mit der von optimaler Information. In anderen Worten: zufällige Information ist praktisch optimal. Um das Verständnis dieses Phänomens zu vertiefen, wollen wir zufällige Information, also zufällige Punktmengen und Unterräume, anhand von geometrischen Eigenschaften studieren. Zum Einen studieren wir zufällige Punktmengen hin auf Qualitätskriterien wie das größte "Loch", also den Radius der größten Kugel, die keine Punkte enthält, oder den durchschnittlichen Abstand zur Punktmenge. Der Mittelwert und die zufälligen Fluktuationen um dieses Mittel sind für beide Größen bekannt, jedoch nicht die Wahrscheinlichkeit großer/größerer Abweichungen, die wir bestimmen wollen. In diesem Zusammenhang wollen wir auch zufällige Punktmengen auf der Oberfläche glatter konvexer Körper, also spezieller Mengen wie zum Beispiel der Kugel, analysieren. Genauer wollen wir die Verteilung der typischen Lochgröße und die zufälligen Fluktuationen für den Abstand der kleinsten konvexen Menge, die die Punktmenge enthält, von der ursprünglichen konvexen Menge bestimmen. Zum Anderen sind wir am Radius eines Schnittes eines hoch-dimensionalen konvexen Körpers mit einem zufälligen Unterraum interessiert und insbesondere, um wieviel dieser größer ist als der Schnitt mit einem optimalen Unterraum. Hier gibt es ein recht allgemeines Resultat, das besagt, dass der zufällige Schnitt mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht viel größer sein kann, wenn der Körper ausreichend "dünn" ist. Wir wollen das Verständnis dieses Verhaltens erweitern, indem wir das bestehende Resultat verbessern.