Evolutionsgleichungen in nichtzylindrischen Gebieten

Mithilfe von partiellen Differentialgleichungen (engl. PDEs) können physikalische Gesetze mathematisch gefasst und daher viele Naturphänomene beschrieben werden. Von besonderem Interesse ist dabei die Entwicklung von physikalischen Größen oder Objekten im Verlauf der Zeit, zum Beispiel die Ausbreitung von Wärme in einem Gegenstand, der Fluss von Wasser durch ein Rohr, die Ausbreitung von Wasserwellen oder die Entstehung von Farbmustern während der Embryonalentwicklung eines Tieres. Während sich die Wärmeverteilung, der Wasserfluss bzw. die Wellen mit der Zeit verändern, bleibt die zugrundeliegende Umgebung (also der Gegenstand, das Rohr bzw. der Gewässerboden) meist unverändert. Diese Annahme kann man allerdings nicht in allen Situationen treffen. So hebt und senkt sich der Meeresboden während eines Erdbebens und das Hautgewebe des Embryos wächst. Dies führt zu komplizierteren mathematischen Formulierungen, nämlich der Betrachtung von evolutionären PDEs auf zeitabhängigen (sogenannten nichtzylindrischen) Gebieten. Außerdem sind einige physikalische Zusammenhänge und damit auch die zugehörigen PDEs nichtlinear. Daher ist die Lösung dieser Probleme eine Herausforderung und unser Verständnis steht noch am Anfang. Ziel dieses Projektes ist es, mathematische Grundlagen für einige der angesprochenen physikalischen Phänomene zu schaffen. Das Forschungsprojekt besteht aus zwei Teilen. Zunächst wollen wir zeigen, dass die mathematischen Probleme wohlgestellt sind. In diesem Zusammenhang stellt sich zunächst die Frage, ob die untersuchten Modelle eine Lösung haben. Unter schwachen physikalischen Voraussetzungen soll diese Frage positiv beantwortet werden. Darüber hinaus sollten Lösungen eindeutig durch die vorgegebenen Anfangs- und Randwerte bestimmt sein. In diesem Schritt werden wir insbesondere untersuchen, wie sich die Entwicklung des Grundgebietes auf die Wohlgestelltheit des Problems auswirkt. Dies verdeutlicht, in welchem physikalischen Rahmen das mathematische Modell eine ausreichende Beschreibung des Phänomens darstellt. Im zweiten Teil des Projektes werden feinere Regularitätseigenschaften der konstruierten Lösungen untersucht. Aus experimenteller Sicht sollten sich physikalische Objekte in unseren Modellen entlang kleiner räumlicher oder zeitlicher Schritte nicht dramatisch verändern. Das plötzliche Wachstum oder der Zusammenbruch der Umgebung könnte jedoch zu einem Verstoß gegen diese Faustregel führen. Daher wollen wir verstehen, welchen Einfluss die Entwicklung eines Gebietes auf die Regularität von Lösungen hat. Dieser Schritt vertieft nicht nur unser mathematisches Verständnis und bestätigt den physikalischen Rahmen weiter, sondern könnte auch auf unentdeckte physikalische Phänomene hindeuten.