Ergodische Eigenschaften Systeme mit Levy Rauschen

Stochastische partielle Differentialgleichungen werden seit langem als mathematisches Modell zur Beschreibung vielfältiger Phänomene in Natur und Technik herangezogen, wobei Systeme betrachtet werden, bei denen der Zufall eine Rolle spielt. Stochastische partielle Differentialgleichungen tauchen z.B. in der Neurophysiologie, Finanzmathematik, Chemie und Populationsdynamik auf. Zumeist wird der Zufall mit einen Gaußschen Rauschen modelliert - tauchen aber z.B. Sprünge auf, wird die Natur nicht in ausreichendem Maße beschrieben. In diesen Fall kann man das Gaußsche Rauschen durch einen Lévy Prozess ersetzen. Ein Problem ist, dass man Techniken, die sich bei deterministischen partiellen Differentialgleichungen bewährt haben nicht so leicht auf stochastische Differentialgleichungen übertragen kann. Dies ist vor allem auf die Besonderheiten stochastischer Systeme zurückzuführen. So ist z.B. ein Gaußscher Prozess zwar überall stetig, aber nirgends differenzierbar, ein Eine Differentialgleichung induziert ein dynamisches System. Nun kann man das statistische Langzeitverhalten so eines dynamischen Systems durch dessen ergodischen Eigenschaften charakterisieren. Gibt es zum Beispiel ein invariantes Maß, so konvergieren die Trajektorien des Systems im Mittel gegen das invariante Maß. Innerhalb dieses Projektes werden die ergodischen Eigenschaften dynamischer Systeme untersucht, die durch Stochastisch Partiellen Differentialgleichungen mit Lévy Prozess entstehen.

Stochastische Partielle Differentialgleichungen sind, einfach gesagt, Partielle Differential- gleichungen mit einem stochastischen (zufälligen) Term. Diese Gleichungen modellieren Systeme, die an sich durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden können. Zusätzlich addiert man einen zufälligen Störungsterm, bzw. einen stochastischen Prozess. Zumeist ist dieser stochastische Störungsterm eine Brown`sche Bewegung, kann aber auch ein allgemeiner Levy Prozess sein. Der stochastische Term beschreibt zumeist Störungen, die zu komplex sind um sie deterministisch zu beschreiben. Hier kann man zum Beispiel die Konzentration einer chemischen Substanz in Wasser deren Abbau durch die Reaktion Diffusionsgleichung beschreiben. Die Unsicherheiten in der molekularen Struktur kann man durch ein Wiener Prozess modellieren. Der stochastische Prozess kann aber auch thermische Fluktuationen an sich modellieren. Aufgrund der mikroskopisch kleinen Strukturen ist es in der Nanotechnologie nicht mehr möglich die thermischen Fluktuationen zu vernachlässigen. Ein Ausweg ist, das thermische Rauschen mittels eines Wiener Prozesses zu modellieren. Die Dynamik so eines Systems mit thermischen Fluktuationen verhält sich anders als die Dynamik des entsprechenden deterministischen Systems ohne stochastische Störung. Betrachten wir mal ein System, das durch ein Energiepotential beschrieben wird. Im deterministischen Fallbleibt so ein System in einem lokalen Minimum des Energiepotentials stecken, da es nicht genügend freie Energie hat um die Potentialschwelle zu überwinden. Im stochastischen Fall kann es sich aber die Energie von den Fluktuationen `borgen` und in ein anderes Minimum überspringen. Da die Fluktuationen auf der Makroskala klein sind, geschieht dies nur nach langer Wartezeit. Dieser Sachverhalt ist dafür verantwortlich, dass magnetische Datenträger (Musikkassetten, USB-Sticks) nach mehrjähriger Lagerzeit ihre als lokale Magnetisierungsrichtung gespeicherte Information verlieren: Die Magnetisierung der Ferromagneten springt von einem lokalen Minimum nach einer zufälligen Wartezeit in ein anderes - zufälliges - lokales Minimum, sodass die ursprüngliche Magnetisierung nach langer Zeit verloren geht, statt der gespeicherten Information bleibt nur ein Rauschen über. Eine Differentialgleichung induziert ein dynamisches System. Nun kann man das statistische Langzeitverhalten so eines dynamischen Systems durch dessen ergodischen Eigenschaften charakterisieren. Gibt es zum Beispiel ein invariantes Maß, so konvergieren die Trajektorien des Systems im Mittel gegen das invariante Maß. Innerhalb dieses Projektes wurden die ergodischen Eigenschaften dynamischer Systeme untersucht, die durch Stochastisch Partiellen Differentialgleichungen mit Lévy Prozess entstehen.