Geometrie von Figuren Räumen

Heutzutage tauchen unendlich dimensionale Räume in vielen Gebieten der angewandten Mathematik auf. Bilderkennung, computergestützte Anatomie oder Hydrodynamik sind nur einige Beispiele. Von besonderem Interesse ist in diesem Zusammenhang der Raum aller geometrischen Figuren eines bestimmten Typs (z.B. der Raum aller Kurven, Flächen oder Bilder). Da dieser Raum von Haus aus nicht linear ist, stoßen die üblichen Methoden der linearen Statistik an ihre Grenzen. So lässt sich zum Beispiel die Summe zweier Flächen nicht sinnvoll definieren. Eine Möglichkeit, diese Schwierigkeiten zu überwinden, bietet die Riemannsche Geometrie. Hierfür ist es allerdings notwendig, die zugrunde liegende Geometrie besser zu studieren und zu verstehen. In meinem Projekt möchte ich Riemannsche Strukturen auf verschieden Typen von Figurenräumen und anderen verwandten unendlich dimensionalen Räumen studieren. Insbesondere möchte ich die folgenden Fragestellungen behandeln: 1. Riemannsche Metriken auf der Mannigfaltigkeit aller Immersionen. 2. Metriken am Figurenraum der unparametrisiereten Flächen. 3. Darstellung von Figuren: Integral- und Differenzialinvarianten 4. Sobolev-Metriken gebrochener Ordnung auf Diffeomorphismengruppen. 5. Riemannsche Metriken am Raum aller Riemannschen Metriken.

Unendlich-dimensionale Räume treten heutzutage in verschiedenen Anwendungen der Mathematik auf, wie zum Beispiel in der Gestaltanalyse, der computergestützen Anatomie, aber auch in der mathematischen Physik. Die Liste der unendlich-dimensionalen Räume, die in diesen Gebieten auftreten, enthält den Raum ebener Kurven, den Raum aller regulären Flächen im 3, sowie Räume von Teilmannigfaltigkeiten einer endlich-dimensionalen Mannigfaltigkeit. Von besonderer Wichtigkeit ist in diesem Zusammenhang auch die Diffeomorphismengruppe, die Menge aller invertierbaren Abbildungen einer Mannigfaltigkeit auf sich selbst. Der Schwerpunkt des Projektes lag auf der Erforschung Riemannscher Strukturen auf diesen Räumen. Die erzielten Resultate lagen dabei sowohl im Bereich der theoretischen Grundlagen als auch in konkreten Anwendungen in der Gestaltanalyse und im speziellen in der medizinischen Bildanalyse. Insbesondere wurden Ergebnisse in den folgenden Bereichen erzielt: Charakterisierung der geodätischen Distanz Geodätische und metrische Vollständigkeit Entwicklung von numerischen Algorithmen für die Gestaltanalyse ebener Kurven Entwicklung von numerischen Algorithmen für die Registrierung von Wahrscheinlichkeitsdichten mit Anwendungen in der medizinischen Bilderkennung