Nil-affine kristallographische Gruppen und algebraische Strukturen

Kristallographische Gruppen haben ihren Ursprung in der Untersuchung von Symmetriegruppen von Kristallen im drei-dimensionalen Euklidischen Raum. Sie wurden bereits vor etwa 100 Jahren eingehend studiertund sind seitdem gut verstanden. Im weiteren Verlauf der Forschung in Algebra und Geometrie wurden dann zahlreiche andere kristallographischen Strukturen betrachtet, unter anderem auch affin- kristallographische und fast-kristallographische Strukturen. Beim affinen Fall lag es nahe, die Resultate des Euklidischen Falls entsprechend zu verallgemeinern. Doch das stellte sich bald als sehr kompliziert heraus. Seit mehr als 30 Jahren wird nun darüber intensiv geforscht, mit vielen neuen Resultaten, aber auch mit vielen Fragen, die noch offen sind. Ziel dieses Projektes ist es, sogenannte nil-affine kristallographische Strukturen zu studieren. Diesesindeine sehr natürliche Verallgemeinerung der affin- kristallographischen Strukturen. Sie sind unter anderem durch die noch offenen Fragen zum affinen Fall motiviert. Ein wesentlicher Fortschritt im Verständnis von affin-kristallographischen Strukturen konnte durch die Beziehung zu einfach transitiven Wirkungen auf Lie Gruppen erzielt werden. Diese Wirkungen kann man nämlich in eine Lie-algebraische Bedingung übersetzen, die man dann erfolgreich mittels Algebra studieren kann. Diesen Ansatz möchten wir auch für den allgemeinen Fall der nil-affinen Strukturen verfolgen. Das erste Ziel ist es, eine Korrespondenz von nil-affinen Strukturen zu sogenannten post-Lie algebra Strukturen auf Paaren von Lie Algebren zu erhalten. Danach sollen diese algebraische Strukturen studiert, und wenn möglich klassifiziert werden. Schließlich sollen auch geometrische Probleme der zugehörigen nil-affinen Mannigfaltigkeiten und ihrer Fundamentalgruppen untersucht werden. Unsere Untersuchungen haben natürlicherweise auch einen gruppentheoretischen und zahlentheoretischen Aspekt. Die aufretenden algebraischen Strukturen sind auch in anderen Gebieten von Interesse, etwa in der Operadentheorie, oder in theoretischen Physik, dort im Zusammenhang mit renormierbaren Quantenfeldtheorien.

Zusammenfassung für die Öffentlichkeitsarbeit: Nil-affine kristallographische Gruppen und algebraische Strukturen Kristallographische Gruppen haben ihren Ursprung in der Untersuchung von Symmetriegruppen von Kristallen im drei-dimensionalen Euklidischen Raum. Sie wurden bereits vor mehr als 100 Jahren eingehend studiert. In Dimension 2 sind kristallographische Gruppen als Ornamentgruppen bekannt. Im Jahr 1900 stellte der deutsche Mathematiker David Hilbert beim Internationalen Mathematiker-Kongress in Paris eine Liste von 23 ungelösten Problemen vor. Der erste Teil des achtzehnten Problems fragt, ob es nur endlich viele verschiedene kristallographische Gruppen in jeder Dimension gibt. Ludwig Bieberbach konnte 1910 eine positive Antwort geben. Seine Sätze sind bis heute die Grundlage zum Verständnis kristallographischer Gruppen.Im weiteren Verlauf der Forschung auf diesem Gebiet wurden dann zahlreiche andere kristallographischen Strukturen betrachtet, die sich als natürliche Verallgemeinerungen kristallographischer Gruppen ergaben. Dazu zählen zum Beispiel affin-kristallographische und nil-affin- kristallographische Gruppen, die wir in diesem Projekt studieren. Die Hauptresultate unseres Projekts sind wie folgt. Zunächst zeigen wir eine Methode, mit der man das Studium nil-affin-kristallographische Gruppen auf gewisse Lie algebraische Strukturen zurückführen kann, nämlich auf *post-Lie Algebra Strukturen*. Das ermöglicht uns im zweiten Schritt, viele Ergebnisse bezüglichExistenz und Klassifikation nil-affiner kristallographischer Strukturen zu erhalten. Es stellt sich nämlich heraus, dass man diese Strukturen besser mit Mitteln der Algebra studieren kann, als mit Methoden der Geometrie, Topologie oder der Theorie diskreter Gruppen. Die Existenz dieser Strukturen beruht wesentlich auf den algebraischen Eigenschaften der zugrundeliegenden Paare (G,N) von Lie Algebren. Solche Eigenschaften können Einfachheit, Halbeinfachkeit, Reduktivität, Perfektheit, Auflösbarkeit, Nilpotenz oder anderes sein. Ist G zum Beispiel einfach, so ist die Existenz dieser Strukturen nur möglich, wenn N isomorph zu G ist. Ist andererseits N einfach, so kann es solche Strukturen geben, ohne das G isomorph zu N ist. Die Situation ist also nicht symmetrisch. Insgesamt ist die Existenz dieser Strukturen ein schwieriges Problem und es treten viele verschiedene Fälle auf. Wir können davon die meisten Fälle befriedigend lösen. Die Klassifikation der Strukturen ist überhaupt nur im halbeinfachen Fall realistisch, und dort auch nicht im allgemeinen möglich. Für den auflösbaren und nilpotenten Fall ist die Situation ohnehin meistens aussichtslos. Trotzdem erhalten wir auch dort einige interessante Klassifikationsresultate. Wir finden auch viele interessante Querverbindungen zu post-Lie Algebra Strukturen. In einigen Fällen etwa stehen die Strukturen in Bijektion zu Rota-Baxter Operatoren vom Gewicht eins auf N und wir können die Theorie solcher Operatoren verwenden. Weitere Verbindungen bestehen zu `etalen affinen Darstellungen von reduktiven algebraischen Gruppen.