Spektralanalysis des d-quer-Neumann Operators

Dieses Projekt liegt an der Schnittstelle verschiedener Gebiete der Mathematik: Komplexe Analysis, Partielle Differenzialgleichungen, Funktionalanalysis, Operatortheorie, Spektralanalysis, Potenzialtheorie und Mathematische Physik. Hauptthema und Ursprung des Programmes ist das d-quer Neumann Problem, welches die komplexe Analysis mehrerer Veränderlicher mit allgemeiner Analysis, Geometrie und Potenzialtheorie verbindet. Die komplexe Analysis mehrerer Veränderlicher hat ihre Wurzeln in der Analysis des d-quer Neumann Problems, und dieses Problem selbst hat im Laufe der Entwicklung der Methoden neue Gebiete der Mathematik geöffnet. Das Problem der Kompaktheit des d-quer NeumannOperators ist das zentrale Thema. Dabei wird ein Zugang verwendet, der den Vorteil mit sich bringt, dass sowohl der Fall von beschränkten, pseudokonvexen Gebieten als auch der Fall unbeschränkter Gebiete mit Gewichtsfunktionen abgedeckt werden kann, und man so ungelöste Probleme für unbeschränkte Gebiete behandeln kann. Unser Ziel wird es sein, präzise Bedingungen zu finden, unter welchen die komplexen Laplace Operatoren auf (0,q)-Formen eine kompakte Resolvente besitzen. Zu diesem Zweck werden wir eine Formel aus dem Bereich des d-quer Neumann Problems verwenden, welche interessante, differentialgeometrische Aspekte eröffnet, und weiters eine neue notwendige und hinreichende Bedingung für die Kompaktheit des entsprechenden d-quer Neumann Operators auf (0,q)- Formen. Weiters soll das Spektrum des d-quer Neumann Operators analysiert werden mit Anwendungen auf die Spektralanalysis gewisser Schrödinger, Dirac und Pauli Operatoren. Weiters weden wir uns auf den kanonischen Lösungsoperator der d-quer Gleichung konzentrieren. Interessanter Weise taucht in vielen Situationen die Einschränkung dieses Lösungsoperators auf Formen mit holomorphen Koeffizienten in natürlicher Art auf. Diese Einschränkung kann man als Hankel Operator auf Räumen holomorpher Funktionen auffassen. Es besteht ein interessanter Zusammenhang zwischen der Geometrie des Randes eines Gebietes und der Kompaktheit von Hankel- und Toeplitz Operatoren mit Symbolen, die am Rand verschwinden. Des weiteren planen wir, Eigenschaften der Kommutatoren [P, M_j] zu analysieren, die mit Fragen der Kompaktheit des d-quer Neumann Operators zu tun haben, dabei sind P die Bergman Projektion und M_j die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen. Neuere Resultate über Formen höherer Ordnung (Celik und Sahutoglu) ermutigen uns, das noch offene Problem für (0,1)-Formen zu behandeln. Die finanziellen Mittel des Projektes werden für Reisekosten, sowie zur Anstellung von einem Doktoratsstudenten und einem Postdoc verwendet. Es ist geplant, Mittel aus bereits bestehenden WTZ Programmen (Amadee) zur Ergänzung dieses Projektes zu verwenden. Im November 2015 wird am Erwin Schrödinger Institut (Wien) ein Workshop stattfinden, um eine internationale Platform für weitere Diskussionen der aufgeworfenen Fragen zu gewinnen und die Ergebnisse des Projektes vorstellen zu können.

Projekt: 28154-N13 Spektralanalysis des d-quer-Neumann Operators Das Thema des Projektes liegt an der Schnittstelle mehrerer verschiedener Bereiche der Mathematk: komplexe Analysis, partielle Differentialgleichungen, Funktionalanalysis, Operatortheorie, Spektraltheorie, Potentialtheorie, Differentialgeometrie und mathematische Physik. Der d-quer Neumann Operator - der Lösungsoperator für den komplexen Laplace Operator definiert auf komplexen Differentialformen liefert ein wichtiges Werkzeug, analytische und geometrische Aspekte der Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen in mehreren komplexen Veränderlichen zu beschreiben. Betrachtet man gewichtete L2-Räume, so eröffnen sich interessante Zusammenhänge mit gewissen Schrödinger, Dirac und Pauli Operatoren. Weiters hat der Projektleiter auf eine ähnliche Situation hingewiesen, wenn man als grundlegenden Hilbertraum den Segal Bargmann Raum nimmt und den d-quer-Operator durch den d-Operator ersetzt. Dadurch ergeben sich Berührungspunkte mit den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Quantenmechanik. Während der Projektzeit hat der Projektleiter sein Buch "Complex Analysis- a functional analytic approach", fertiggestellt. Es erschien 2018 in der Serie De Gruyter Graduate. Franz Berger, unterstützt durch das Projekt hat sein Doktoratsstudium 2018 erfolgreich abgeschlossen. 2 Post Docs haben viele neue inspirierende Aspekte eingebracht. Der Projektleiter hielt mehrere eingeladene Vorträge bei Konferenzen und Seminaren: Doha (Texas A& M University), American University Beirut, University of Ufa (Russia), Steklov Institute (Moscow), University of Sao Paulo (Brazil), Columbia University New York, Rutgers University Philadelphia, AMS-meeting Honolulu, BIRS Conference Ban (Canada), University of Brno , CIRM Conference Luminy. Die internationalen Kontakte wurden durch ein WTZ-ÖAD Projekt mit Montenegro ergänzt. 2018 fand am Erwin Schrödinger Institut in Wien ein workshop mit dem Titel "Analysis and CR Geometry" statt, organisiert von der Complex Analysis Group in Wien, mit 30 führenden Experten aus der ganzen Welt.