Gradientenflüsse von Krümmungsenergien

Was ist die schönste Form eines Knoten? Was bedeutet "Schönheit" in diesem Kontext? Oder ganz konkret: Ist das Fadenknäuel vor uns nun überhaupt verknotet oder nicht? Und: Gibt es eine natürliche Art und Weise einen ganz konkreten Knoten in diese optimale Form zu transformieren? Um diesen Fragen beizukommen, haben Mathematiker in den vergangenen beiden Jahrzehnten den Begriff von Krümmungsenergien und Knotenenergien geprägt und diese Energien studiert. Anschaulich wird damit versucht, ein Maß für die Schönheit eines Knoten zu definieren. Je kleiner die Energie, desto schöner der Knoten. Damit geben diese Energien eine pragmatische Antwort auf die erste von uns gestellte Frage. Der vielleicht bekanntesten Energie dieser Art liegt eine ganz einfache physikalische Idee zugrunde: Man möchte, dass unterschiedliche Stränge des Knotens möglichst großen Abstand haben. Dazu macht sich der Erfinder dieser Energie, der Japaner Jun O`Hara, die Abstoßungseffekte von elektrischer Ladung zunutze. Er verteilte ein Quantum elektrische Ladung auf dem Knoten und berechnete die potentielle Energie dieser Ladungsverteilung. Je weiter unterschiedliche Stränge des Knotens sind, desto kleiner ist diese potentielle Energie. Allerdings musste er die Coulombenergie im vierdimensionalen Raum betrachten statt im dreidimensionalen betrachten, um in der Tat Abstoßungseffekte unterschiedlicher Punkte zu erhalten. Dieses Projekt behandelt die letzte der oben angeführten Fragen: Gibt es eine natürliche Art und Weise einen ganz konkreten Knoten in seine optimale Form zu transformieren? Mathematiker stellen sich dafür die Energie als Gebirgslandschaft vor und folgen wie sehr ambitionierte Bergsteiger der "Direttissima" der Richtung des steilsten Anstieges bzw. hier: des steilsten Abstieges. Für Knotenenergien ist dieses Verfahren noch kaum untersucht. Der Grund dafür ist sicher, dass die Gleichungen, die dabei auftreten, eine neue Struktur haben es handelt sich um sogenannte quasilineare fraktionale parabolische Differentialgleichungen, die hochgradig nicht-lokal sind und denen man diese Struktur aber auf dem ersten Blick nicht ansieht. Es müssen dafür komplett neue Techniken gefunden werden. Die Motivation hinter diesem Projekt ist vielfältig: Zum einen handelt es sich dabei um spannende, neue Mathematik am Rande zwischen so unterschiedlichen Gebieten wie Analysis, Geometrie und Topologie. Zum anderen gibt es interessante Querverbindungen zwischen einigen dieser Energien und der Modellierung von Proteinen und DNS, und die Modellierung der Energien basiert nicht selten auf physikalischen Ideen. Es gibt Verbindungen zu anderen aktuellen Forschungsthemen in der Mathematik, wie der Modellierung von Membranen, insbesondere der Willmoreenergie, sowie tiefe topologische Fragen, die man vielleicht mit diesen Techniken lösen kann. Nicht zuletzt sind fraktionelle Gleichungen momentan eines der Trendthemen in der Mathematik partieller Differentialgleichungen.

In diesem Projekt haben wir uns der Frage gewidmet, was die schönste Form eines geometrische Objektes, sei und ob es eine natürliche Art gäbe, eine gegebene geometrische Form in diese schönste Gestalt zu transformieren? Dabei befassten wir uns sowohl mit Forschungsrichtungen, die bis in die vergangenen Jahrhundert zurückreichen, betrachteten aber auch Ansätze, die neu und erst in den letzten drei Jahrzehnten aufgekommen sind. Wir trugen dabei wesentlich zur weiteren Erforschung der Theorie der Elastika bei, die bis zu den Arbeiten von Bernoulli und Euler zurückreicht, als auch zur Theorie der sogenannten Knotenenergien, die entwickelt wurden, um die "schönste Gestalt" eines geometrischen Knotens zu bestimmen. Wir zeigten, dass ein sehr natürlicher Weg, um die optimale Gestalt eines geometrischen Objekts oder eines Knotens zu finden, in die Tat umgesetzt werden kann. Motiviert vom Verhalten sehr ambitionierten Kletterern, die der "Direttissima" folgen und immer in die steilste Richtung auf- oder absteigen, um möglichst schnell den Gipfel zu erreichen oder ins Tal zurückzukommen, interpretieren Mathematiker die Energie als eine Art Gebirgslandschaft und wandern entlang der Richtung der maximalen Steigung. Wir konnten nachweisen, dass diese Taktik den Weg zu einer optimalen Form zeigt, was insbesondere für die genannten Knotenenergien aber auch für die untersuchten p-elastischen Energien unbekannt war. Auf dem Weg zu diesem Ergebnis, fanden wir auch neue Antworten auf die Frag, wie schön die optimale Gestalt eines Knoten nun wirklich ist. In der Tat war zwar bereits bekannt, dass sie äußerst ansprechend ist als unendlich oft stetig differenzierbare eingebettete Kurve. Doch es blieb ein offenes Problem, ob es sich dabei tatsächlich um eine analytische Kurve handelt, und sie somit zu einer der elegantesten Klassen gehören, die sich ein Analytiker vorstellen kann. Durch den Einsatz fortschrittlicher und technisch schwieriger mathematischer Techniken aus Bereichen wie harmonischer Analysis und der Theorie fraktionaler Operatoren konnten wir diese Frage beantworten. Wir bewiesen, dass kritische Punkte zahlreicher Knotenenergien tatsächlich analytisch sind. Dieses Ergebnis ist eines der ersten seiner Art für Lösungen nichtlokaler partieller Differentialgleichungen. In einer Tour der force, gelang es uns dieses Ergebnis zu einer Art "Blackbox" für diesen Typ nichtlinearer nichtlokaler Gleichungen zu erweitern. Dadurch konnten wir eine Variante von Hilberts neunzehntem Problem für Integro-Differentialgleichungen lösen und insbesondere die Analytizität sogenannter fraktionaler Minimalflächen nachweisen - ein weiteres bislang ungelöstes Problem. Dies ist nur eine kleine Auswahl der spannenden neuen Entdeckungen, die uns im Rahmen dieses Forschungsprojektes gelangen. Die zahlreichen Preise, die im Rahmen des Projektes errungen wurden (Stegbuchner-Preis, Marie-Andreßner-Preis, Marshall-Fund-Scholarship, Price of Excellence), unterstreichen die Bedeutung und Wertschätzung der Forschung des beteiligten Forschungsteams.