Forcing für Mengen- und Modelltheorie

Das Gebiet des Projekts ist Mathematik, genauer: mathematische Logik, noch genauer: Mengenlehre und Modelltheorie. In der Mathematik versucht man (unter anderem) Sätze zu beweisen oder zu widerlegen. In der mathematischen Logik untersucht man (unter anderem) Fragen wie: Was genau heißt beweisbar? Gibt es Sätze die weder beweisbar noch widerlegbar sind (in der Standard-Axiomatisierung der Mathematik, ZFC)? Es stellt sich heraus, dass es solche Sätze gibt: Ein berühmtes Beispiel ist die Kontinuumshypothese (CH): Jede unendliche Teilmenge der reellen Zahlen ist entweder so groß wie die natürlichen Zahlen oder so groß wie die reellen Zahlen. CH gehört zum Gebiet der Mengenlehre, genauso wie die Methode, Forcing genannt, die zeigt dass CH weder beweisbar noch widerlegbar ist. Die Modelltheorie untersucht das Verhältnis von formalen / logischen Eigenschaften einer Theorie, und der Struktur aller Modelle dieser Theorie. Insbesondere beschäftigt sich das Projekt mit Klassifikationstheorie: Wir suchen nach guten Trennungslinien aller Theorien in chaotische und handhabbare. Wir untersuchen ein Teilgebiet der Klassifikationstheorie, in der Forcing verwendet wird: Wir nennen eine Theorie universell einfach, wenn sie notwendigerweise universelle Modelle in vielen Kardinalzahlen hat. Notwendigerweise heißt hier: In jeder Forcing- Erweiterung. Diese Einschränkung ist nötig, weil es zum Beispiel unter der Annahme der generalisierten Kontinuumshypothese für jede Theorie viele universelle Modelle gibt; aber diese Existenz ist ein Artefakt und sagt nichts über die Theorie aus. Dieses Artefakt wird vermieden, wenn man nicht nur fordert dass die Theorie zufälligerweise viele universelle Modelle hat, sondern notwendigerweise in jeder Forcing-Erweiterung. Wir vermuten dass der Begriff universell einfach eine nützliche und natürliche Klassifikation von Theorien darstellt, und das Projekt wird diesen Begriff für einige konkrete Theorien untersuchen.

Das Thema des Projekts war mathematische Logik, insbesondere Mengenlehre und Modelltheorie. Mengenlehre ist der übliche Weg, Mathematik universell zu axiomatisieren, und liefert Werkzeuge, um zu zeigen, dass manche Aussagen weder beweisbar noch widerlegbar sind. Das wichtigste dieser Werkzeuge ist Forcing: Es erlaubt uns, das aktuelle mathematische Universum zu vergrößern, so daß in dem neuen, größeren Universum die Axiome der Mathematik weiterhin gelten, aber auch bestimmte Aussagen auf die hin wir die Erweiterung ausgerichtet haben. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die Kontinuumshypothese. Modelltheorie untersucht, wie Eigenschaften einer Theorie T (wie die Gruppenaxiome oder die Vektorraumaxiome über einem fixen Körper) und die Struktur der Modelle von T zusammenhängen. Einige modelltheoretische Ergebnisse haben die Form einer Dichotomie: Entweder ist T "nett", und Modelle lassen sich durch eine kleine Anzahl sinnvoller Invarianten beschreiben (wie die Dimension im Fall von Vektorräumen); oder T ist chaotisch und besitzt viele nicht-isomorphe Modelle. Ein Beispiel für ein solches Ergebnis ist Shelahs Main Gap Theorem. In unserem Kontext können wir jedoch nicht erwarten, dass ein chaotisches T in unserem gegenwärtigen Universum viele nicht-isomorphe Modelle besitzt. Wir hoffen vielmehr zu zeigen, dass dies in einer forcierten Erweiterung der Fall ist. Wir haben uns mit modelltheoretischen Fragestellungen zu Theorien T über einem Prädikat P befasst. Das ultimative Ziel ist es, ein Analogon zum Main Gap zu finden: Entweder besitzt T eine geeignete Strukturtheorie (über P), oder T besitzt (in einer forcierten Erweiterung) viele nicht-isomorphe Modelle mit demselben P-Teil. Wir konnten mehrere Ergebnisse zu diesen Fragestellungen erzielen, zum einen im Kontext von Stabilität: Wenn ein Modell von T über P stabil ist, dann sind schwach orthogonale Typen zu P quantorenfrei definierbar und haben einen nützlichen Unabhängigkeitsbegriff; außerdem erlaubt die Klasse der T-Modelle eine stabile Amalgamierung. Wir haben den Begriff der vollen Stabilität über P eingeführt und gezeigt, dass T Primmodelle in der Kategorie der saturierten Modelle besitzt und, falls T abzählbar ist, die Gaifman-Eigenschaft hat. Andererseits setzten wir die Untersuchung der Forcing-Theorie fort, entwickelten einige neue Konstruktionen und beantworteten dabei einige mengentheoretische Fragen: Zum Beispiel: Sei unerreichbar und B die Boolesche Algebra der Teilmengen von der Größe < . Dann impliziert CH an , dass es einen nirgends trivialen Automorphismus von B gibt; dies ist mit jedem Wert von 2^ vereinbar; ebenso ist es vereinbar, dass jeder Automorphismus irgendwo trivial ist.