Forcing für Mengen- und Modelltheorie

Das Gebiet des Projekts ist Mathematik, genauer: mathematische Logik, noch genauer: Mengenlehre und Modelltheorie. In der Mathematik versucht man (unter anderem) Sätze zu beweisen oder zu widerlegen. In der mathematischen Logik untersucht man (unter anderem) Fragen wie: Was genau heißt beweisbar? Gibt es Sätze die weder beweisbar noch widerlegbar sind (in der Standard-Axiomatisierung der Mathematik, ZFC)? Es stellt sich heraus, dass es solche Sätze gibt: Ein berühmtes Beispiel ist die Kontinuumshypothese (CH): Jede unendliche Teilmenge der reellen Zahlen ist entweder so groß wie die natürlichen Zahlen oder so groß wie die reellen Zahlen. CH gehört zum Gebiet der Mengenlehre, genauso wie die Methode, Forcing genannt, die zeigt dass CH weder beweisbar noch widerlegbar ist. Die Modelltheorie untersucht das Verhältnis von formalen / logischen Eigenschaften einer Theorie, und der Struktur aller Modelle dieser Theorie. Insbesondere beschäftigt sich das Projekt mit Klassifikationstheorie: Wir suchen nach guten Trennungslinien aller Theorien in chaotische und handhabbare. Wir untersuchen ein Teilgebiet der Klassifikationstheorie, in der Forcing verwendet wird: Wir nennen eine Theorie universell einfach, wenn sie notwendigerweise universelle Modelle in vielen Kardinalzahlen hat. Notwendigerweise heißt hier: In jeder Forcing- Erweiterung. Diese Einschränkung ist nötig, weil es zum Beispiel unter der Annahme der generalisierten Kontinuumshypothese für jede Theorie viele universelle Modelle gibt; aber diese Existenz ist ein Artefakt und sagt nichts über die Theorie aus. Dieses Artefakt wird vermieden, wenn man nicht nur fordert dass die Theorie zufälligerweise viele universelle Modelle hat, sondern notwendigerweise in jeder Forcing-Erweiterung. Wir vermuten dass der Begriff universell einfach eine nützliche und natürliche Klassifikation von Theorien darstellt, und das Projekt wird diesen Begriff für einige konkrete Theorien untersuchen.