Nichtglatte Raumzeit-Geometrie

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART), Einsteins Theorie von Raum, Zeit und Materie beschreibt die Schwerkraft mittels Krümmung: Jede Form von Masse oder Energie krümmt die umliegende Raumzeit und diese Krümmung bestimmt wiederum, wie sich Teilchen in der Raumzeit bewegen. Die ART hat eine lange Erfolgsgeschichte, die sich auch im 21. Jahrhundert fortsetzt. Pünktlich zu ihrem Hundertjahrjubiläum wurden im Herbst 2015 Gravitationswellen, eine ihrer spektakulärsten Vorhersagen, direkt nachgewiesen. Darüber hinaus hat die ART über die Jahre starke Einflüsse auf viele mathematische Teilgebiete ausgeübt und durch wechselseitige Entwicklungen sind wichtige Resultate wie etwa die Singularitätentheoreme von Penrose und Hawking entstanden. Diese besagen, dass unter physikalisch realistischen Bedingungen notwendigerweise Raumzeitsingularitäten entstehen, etwa schwarze Löcher. Ein Probleme an dieser Schnittstelle von Physik und Mathematik ist die Sprache in der die ART formuliert ist: Die Lorentzgeometrie (LG) ist die mathematische Theorie zur Beschreibung gekrümmter Räume. Ihr zentrales Objekt, die Metrik, kodiert wie an einem bestimmten Punkt der Raumzeit Längen und Winkel gemessen werden. Traditionell wird die LG für glatte Metriken formuliert, d.h. für solche die sich nur kontinuierlich ändern, wenn man von Punkt zu Punkt geht. Andererseits erfordern physikalisch realistische Modelle, z.B. von Sternen, dass sich die Massendichte an ihrer Oberfläche sprunghaft ändert. Die Grundgleichungen der ART führen dann dazu, dass sich auch die Metrik abrupt ändern, also nichtglatt sein muss. Während dieses fundamentale Problem lange bekannt war, wurde es in der Literatur nur selten thematisiert. Das änderte sich vor ca. 10 Jahren, als Forscher in der Mathematischen Relativitätstheorie begannen, nichtglatte Metriken systematisch zu untersuchen. Seither ist eine Fülle von Arbeiten erschienen, die das Studium nichtglatter Metriken in eine lebendige Forschungsrichtung verwandelt haben, wobei dem Projektteam eine tragende Rolle zukam. In einem früheren Projekt haben wir einerseits die Singularitätentheoreme für nichtglatte Raumzeiten bewiesen und andererseits einen neuen synthetischen Zugang zur LG vorgeschlagen. Bei diesem wird die Krümmung etwa dadurch gemessen, wie sehr die Winkelsumme in Dreiecken vom flachen Fall (180 Grad) abweicht. Ziel des neuen Projekts ist es, diese Methoden weiterzuentwickeln und zu verfeinern, um damit Singularitätentheoreme zu beweisen, die lokal negative Energien zulassen. Das ist eine Schnittstelle zur (noch unvollständigen) Quantentheorie der Gravitation, wo Energien fluktuieren und daher auch negativ werden können. Außerdem beabsichtigen wir, den neuen synthetischen Zugang zur LG, die sogenannten Lorentz-Längenräume zu einer reifen Theorie weiterzuentwickeln. Insgesamt wollen wir also mit einer Mischung aus analytischen und synthetischen Methoden das Verständnis nichtglatter Raumzeit-Geometrien signifikant erweitern.

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART), Einsteins Theorie von Raum, Zeit und Materie beschreibt die Schwerkraft mittels Krümmung: Jede Form von Masse oder Energie krümmt die umliegende Raumzeit und diese Krümmung bestimmt wiederum, wie sich Teilchen in der Raumzeit bewegen. Die ART hat eine lange Erfolgsgeschichte, die sich auch im 21. Jahrhundert fortsetzt. Pünktlich zu ihrem Hundertjahrjubiläum wurden im Herbst 2015 Gravitationswellen, eine ihrer spektakulärsten Vorhersagen, direkt nachgewiesen. Darüber hinaus hat die ART über die Jahre starke Einflüsse auf viele mathematische Teilgebiete ausgeübt und durch wechselseitige Entwicklungen sind wichtige Resultate wie etwa die Singularitätentheoreme von Penrose und Hawking entstanden. Diese besagen, dass unter physikalisch realistischen Bedingungen wie sie z.B. beim Gravitationskollaps ausgebrannter Sterne oder in einem expandierenden Universum auftreten, notwendigerweise Raumzeitsingularitäten entstehen. Ein Probleme an dieser Schnittstelle von Physik und Mathematik ist die Sprache in der die ART formuliert ist: Die Lorentzgeometrie (LG) ist die mathematische Theorie zur Beschreibung gekrümmter Räume. Ihr zentrales Objekt, die Metrik, kodiert wie an einem bestimmten Punkt der Raumzeit Längen und Winkel gemessen werden. Traditionell wird die LG für glatte Metriken formuliert, d.h. für solche die sich nur kontinuierlich ändern, wenn man sich von Punkt zu Punkt bewegt. Andererseits erfordern physikalisch realistische Modelle, z.B. von Sternen, dass sich die Massendichte an ihrer Oberfläche sprunghaft ändert. Die Grundgleichungen der ART führen dann dazu, dass sich auch die Metrik abrupt ändern, also nichtglatt sein muss. Während dieses fundamentale Problem lange bekannt war, wurde es in der Literatur nur selten thematisiert. Das änderte sich vor ca. 15 Jahren, als Forscher in der Mathematischen Relativitätstheorie begannen, nichtglatte Metriken systematisch zu untersuchen. Seither ist eine Fülle von Arbeiten erschienen, die das Studium nichtglatter Metriken in eine lebendige Forschungsrichtung verwandelt haben. Im Rahmen des gegenwärtigen Forschungsprojekts haben wir vor allem (1) die Singularitätentheorem von Penrose und Hawking auf nicht-glatte Raumzeiten erweitert und dabei frühere Ergebnisse unserer Arbeitsgruppe signifikant verallgemeinert. Erst damit ist sichergestellt, dass diese Theoreme auch physikalisch realistische Szenarien beschreiben können. In diesem Strang des Projekts haben wir die vorhandenen mathematische Techniken zur analytischen Beschreibung nicht-glatter Raumzeiten ein großes Stück weiterentwickelt. Da sich aber am Horizont dieser Entwicklung große Hürden erkennbar geworden sind, haben wir (2) den im Rahmen unserer Arbeitsgruppe um 2018 entwickelten synthetischen Zugang zur LG weiterentwickelt. Insbesondere haben wir die ersten Ansätze zu einem breiten Fundament ausgebaut und wichtige Basisarbeit geleistet. Es hat sich dabei herausgestellt, dass dieser Zugang großes Interesse der Comunity hervorgerufen hat, da er die Türe zu einer Vielzahl neuer Anwendungsmöglichkeiten weit aufstößt und auch eine Schnittstelle zu Quantentheorien der Gravitation bereitstellt. Insgesamt haben wir also mit einer Mischung aus analytischen und synthetischen Methoden das Verständnis nichtglatter Raumzeit-Geometrien signifikant erweitert.