Unendlich dimensionale Riemannsche Geometrie mit Anwendungen

Eine Riemannsche Mannifaltigkeit ist ein Raum in dem es möglich ist Längen und Winkel zu messen: der Abstand zwischen zwei Punkten ist dann definiert als die Länge des kürzesten Pfades der diese Punkte verbindet. Diese längen-minimierenden (kürzesten) Pfade werden auch als Geodäten bezeichnet und werden durch die Geodätengleichung beschrieben. Das einfachste Beispiel einer Riemannschen Manigfaltigkeit ist der Euklidsche Raum, in welchem Geodäten exakt den geraden Linien entsprechen. Dieser Raum ist flach, es gibt aber auch gekrümmte Räume wie zB die Sphäre oden den Torus. Die klassische Theorie der Riemannschen Geometrie betrachtet Situationen wo die zugrundeliegende Mannifaltigkeit ein endlich dimensionaler Raum ist. Allerdings erwähnte schon Bernhard Riemann in seiner Habilitationsschrift, die als der Geburtsort der Riemannschen Geometrie gilt, die Möglichkeit unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten zu betrachten: Es giebt indess auch Mannigfaltigkeiten, in welchen die Ortsbestimmung nicht eine endliche Zahl, sondern entweder eine unendliche Reihe oder eine stetige Mannigfaltigkeit von Grössenbestimmungen erfordert. Solche Mannigfaltigkeiten bilden z. B. die möglichen Bestimmungen einer Function für ein gegebenes Gebiet, die möglichen Gestalten einer räumlichen Figur u. s. w. (Zitat aus Riemanns Habilitationsschrift) Das letzte Beispiel welches Riemann hier erwähnt bildet die zentrale Motivation dieses Projektes: die Verwendung der Riemannsche Geometrie um die Ähnlichkeit geometrischer Figuren shapes -- zu untersuchen. Dieses Gebiet, welches auch als Shape Analysis bezeichnet wird, hat vielfältige Anwendungen in der Medizinischen Informatik, der Computergrafik und den Datenwissenschaften. Die größte Herausforderung für die Verwendung Riemannscher Methoden in der Shape Analysis liegt in der unendlich Dimensionalität des Raumes aller Geometrischen Figuren: viele der klassischen Resultate der endlich dimensionalen Geometrie gelten nicht mehr ohne weiteres in einem unendlich dimensionalen Setting und unangenehme Pathologien können auftreten. Dies ist der Ausgangspunkt des ersten Teil dieses Projektes, in welchem wir versuchen das Theorem von Hopf-Rinow, ein klassisches Resultat der endlich dimensionalen Riemannschen Geometrie, für bestimmte unendlich dimensionale Mannigfaltigkeiten zu zeigen; es ist bekannt dass dieses Resultat für allgemeine unendlich dimensionale Mannigfaltigkeiten nicht mehr gültig ist. Im zweiten Teil des Projekt beschäftigen wir uns mit einem speziellen Shape Space: dem Raum der Flächen. Dieser Raum ist besonders wichtig in Anwendung wie zB. in der Beschreibung (menschlicher) Organe in der medizinischen Informatik. Statistik auf diesem Raum basiert genau auf einer Abstands und Winkelbegriff im Riemannschen Sinn. Für die praktische Anwendung müssen diese statistischen Methoden am Computer programiert warden. Diese Herausforderung ist der zweite Teil meines Projektes.

Eine Riemannsche Mannifaltigkeit ist ein Raum in dem es möglich ist Längen und Winkel zu messen: der Abstand zwischen zwei Punkten ist dann definiert als die Länge des kürzesten Pfades der diese Punkte verbindet. Diese längen-minimierenden (kürzesten) Pfade werden auch als Geodäten bezeichnet und werden durch die Geodätengleichung beschrieben. Das einfachste Beispiel einer Riemannschen Manigfaltigkeit ist der Euklidsche Raum, in welchem Geodäten exakt den geraden Linien entsprechen. Dieser Raum ist flach, es gibt aber auch gekrümmte Räume wie zB die Sphäre oden den Torus. Die klassische Theorie der Riemannschen Geometrie betrachtet Situationen wo die zugrundeliegende Mannifaltigkeit ein endlich dimensionaler Raum ist. Allerdings erwähnte schon Bernhard Riemann in seiner Habilitationsschrift, die als der Geburtsort der Riemannschen Geometrie gilt, die Möglichkeit unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten zu betrachten: "Es giebt indess auch Mannigfaltigkeiten, in welchen die Ortsbestimmung nicht eine endliche Zahl, sondern entweder eine unendliche Reihe oder eine stetige Mannigfaltigkeit von Grössenbestimmungen erfordert. Solche Mannigfaltigkeiten bilden z. B. die möglichen Bestimmungen einer Function für ein gegebenes Gebiet, die möglichen Gestalten einer räumlichen Figur u. s. w." (Zitat aus Riemann's Habilitationsschrift) Das letzte Beispiel welches Riemann hier erwähnt bildet die zentrale Motivation dieses Projektes: die Verwendung der Riemannsche Geometrie um die Ähnlichkeit geometrischer Figuren - shapes -- zu untersuchen. Dieses Gebiet, welches auch als Shape Analysis bezeichnet wird, hat vielfältige Anwendungen in der Medizinischen Informatik, der Computergrafik und den Datenwissenschaften. Die größte Herausforderung für die Verwendung Riemannscher Methoden in der Shape Analysis liegt in der unendlich Dimensionalität des Raumes aller Geometrischen Figuren: viele der klassischen Resultate der endlich dimensionalen Geometrie gelten nicht mehr ohne weiteres in einem unendlich dimensionalen Setting und unangenehme Pathologien können auftreten. Dies war der Ausgangspunkt des ersten Teil dieses Projektes, in welchem wir das Theorem von Hopf-Rinow, ein klassisches Resultat der endlich dimensionalen Riemannschen Geometrie, für bestimmte unendlich dimensionale Mannigfaltigkeiten bewiesen; es ist bekannt dass dieses Resultat für allgemeine unendlich dimensionale Mannigfaltigkeiten nicht mehr gültig ist. Diese Forschung führte zu einem umfassenden Manuskript, das kürzlich zur Veröffentlichung in der renommierten Zeitschrift der Europäischen Mathematischen Gesellschaft (JEMS) angenommen wurde. Im zweiten Teil des Projekt beschäftigten wir uns mit einem speziellen Shape Space: dem Raum der Flächen. Dieser Raum ist besonders wichtig in Anwendung wie zB. in der Beschreibung (menschlicher) Organe in der medizinischen Informatik. Statistik auf diesem Raum basiert genau auf einer Abstands und Winkelbegriff im Riemannschen Sinn. In diesem Teil des Projekts haben wir ein umfassendes numerisches Package für die statistische Analysis von Oberflächen mit spezifischen Anwendungen im Bereich der Modelierung von Bewegungen des menschlichen Körpers entwickelt. Dieser Teil der Forschung hat zu mehreren Veröffentlichungen in führenden Fachzeitschriften geführt, darunter eine Veröffentlichung im International Journal of Computer Vision.