Stark degenerierte partielle Differentialgleichungen

Die betrachteten partiellen Differentialgleichungen modellieren Probleme des optimalen Transports mit Staueffekten. Das Modell basiert auf einem spieltheoretischen Ansatz für die Verkehrsdynamik, dem so genannten Wardrop-Gleichgewicht. Das Wardrop-Gleichgewicht stützt sich auf zwei Prinzipien: Das Nutzergleichgewicht, welches davon ausgeht, dass jeder Nutzer die Best mögliche Route wählt, und die Systemoptimalität, die davon ausgeht, dass sich die Nutzer kooperativ verhalten, sodass die durchschnittliche Reisezeit minimal ist. Anstatt die Auswirkungen auf die reale Verkehrsdynamik zu untersuchen, sind wir in diesem Projekt an der assoziierten partiellen Differentialgleichung und ihren Lösungen interessiert. Insbesondere werden wir Regularitätseigenschaften der Lösungen untersuchen. Unser Ziel ist es, systematisch höhere Regularitätseigenschaften zu untersuchen, d.h. Regularität jenseits der Lipschitz-Stetigkeit. Wir werden innere und Randregularität, den skalaren und den vektoriellen Fall sowie Optimalitätsaspekte betrachten. Die zur Lösung dieser Probleme verwendeten Methoden sind vielfältig. Tiefe Kenntnisse der reellen Analysis und der Regularitätstheorie für nichtlineare PDEs sind erforderlich. Die Klasse der betrachteten partiellen Differentialgleichungen wird als stark degenerierte PDEs bezeichnet. Es gibt auch ein zeitabhängiges, parabolisches Gegenstück. Diese parabolische PDE erscheint in Modellen der Gasfiltration mit nichtlinearen Effekten, wobei der Fluss erst ab einem gewissen kritischen Druck einsetzt. Es gibt viele wichtige Beispiele von PDEs mit degenerierter Struktur, wie die elliptische und parabolische p-Laplace-Gleichung, die poröse Medien Gleichung, das Stefan-Problem, PDEs mit verschwindenden Koeffizienten usw. Jede dieser Gleichungen hat ihre eigenen Besonderheiten. Um sie zu verstehen sind tiefe analytische Techniken erforderlich. In den letzten Jahrzehnten wurde ein gewisses Verständnis der Regularität für diese Gleichungen entwickelt. Dahingegen ist die Regularitätstheorie für stark degenerierte PDEs ein weitgehend offenes Feld. In diesem Projekt untersuchen wir das Thema systematisch, um ein besseres Verständnis von PDEs mit allgemeiner degenerierter Struktur zu schaffen.