Optimale robuste Löser für zuverlässige und effiziente AFEM

Viele praktische physikalische Phänomene lassen sich mathematisch durch partielle Differentialgleichungen (PDEs) modellieren. Die Diskretisierung einer PDE mittels der Finite-Elemente-Methode (FEM) führt zu einem endlichdimensionalen Problem, das numerisch von Computern gelöst werden kann. Insbesondere Sicherheits-, Umwelt- und Finanzaspekte erfordern, dass numerische Simulationen zuverlässig (mit der Garantie, dass eine gewünschte Genauigkeit erreicht wird) und effizient (mit minimalen Rechenkosten) sind. Selbst bei symmetrischen linearen elliptischen PDEs zweiter Ordnung kann die unbekannte Lösung Singularitäten aufweisen, die durch die gegebenen Daten oder die Geometrie des Gebiets verursacht werden. Aus diesem Grund erreichen Standard-FEMs oft nicht die erforderliche Genauigkeit. Daher ist ein verfeinerter Ansatz unverzichtbar: die adaptive FEM (AFEM) steuert die lokale Netzgröße h gezielt in der Nähe von potenziellen Singularitäten. In diesem Fall führt die Verwendung stückweiser Polynome höherer Ordnung p oft zu noch besseren Konvergenzraten, allerdings auf Kosten eines höheren Rechenaufwands. Um eine optimale Komplexität zu gewährleisten, sind für das Lösen der diskreten Probleme optimale iterative Solver erforderlich. Dazu gehört z.B. eine Klasse von Mehrgitterverfahren, die eine hp-robuste Kontraktion gewährleisten: strikte Fehlerabnahme pro Iteration unabhängig von den Diskretisierungsparametern. Trotz zahlreicher neuerer Entwicklungen sind unter anderem folgende Fragen ungelöst: 1) Können hp-robuste Löser für nicht-symmetrische Probleme entwickelt werden? 2) Kann ein optimaler robuster Löser für nichtlineare Probleme konstruiert werden? 3) Kann der Löser selbst adaptiv gestaltet werden? Wie wirkt sich eine ungleichmäßige (elementweise) Verteilung von p auf die Kontraktion des Lösers aus? 4) Kann ein solcher Ansatz mit adaptiver Netzverfeinerung kombiniert werden, um (optimale) Konvergenz der resultierenden hp-AFEM mit iterativem Löser zu garantieren? Ist die Konvergenz parameterrobust, d.h. für beliebige gewählte Parameter garantiert? Das übergeordnete Ziel des Projekts ist es, optimale, kontraktive Löser für AFEM zu entwerfen und zu implementieren, die robust gegenüber der lokalen Netzgröße h und dem lokalen Polynomgrad p für lineare Systeme elliptischer PDEs zweiter Ordnung sind. Hierfür sind Kenntnisse und zugrundeliegende Techniken aus den Bereichen a-posteriori- Fehleranalyse, AFEMs, lineare Algebra, Methoden höherer Ordnung sowie Implementierungs- und Informatikaspekte erforderlich. Der Entwurf und die Analyse optimaler iterativer Löser für hp-adaptive Diskretisierungen wird unser Verständnis von Adaptivität und iterativen Methoden sowie deren Zusammenspiel wesentlich vorantreiben. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf den hp- robusten Solvern sowie auf der parameterrobusten Konvergenz und der Optimalität der gesamten adaptiven Algorithmen.