Primteiler von Polynomen, Spin-Ketten und Nichtreste

Das Projekt geht tiefen Geheimnissen der Arithmetik auf die Spur. Zwar war beispielsweise schon Euklid vor über 2250 Jahren bekannt, dass die Folge 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, der Primzahlen sich bis ins Unendliche erstreckt, aber selbst sehr einfache Fragen über die Existenz von Primzahlen von spezieller vorgegebener Gestalt verwehren sich bis heute widerspenstig jedwedem Lösungsansatz. (Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als Eins, die nur zwei positive Teiler hat: Eins und sich selbst.) Unter Anderem ist nach wie vor nicht bekannt, ob die Folge 2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, der Primzahlen, welche um Eins größer sind als eine Quadratzahl, sich bis ins Unendliche fortsetzt, oder irgendwann abbricht. Edmund Landau, ein bedeutender Mathematiker des 20. Jahrhunderts, bezeichnete diese und noch drei weitere Probleme im Jahre 1912 unangreifbar beim gegenwärtigen Stande der Wissenschaft. Obgleich sich an der Unangreifbarkeit dieser und der übrigen von Landau genannten Probleme bis heute im eigentlichen Sinne nichts geändert zu haben scheint, wurden in der Zwischenzeit viele Wege geebnet, von deren Ausbau man sich für die ferne Zukunft eine Greifbarmachung des Unangreifbaren zu hoffen wagt. Das vorliegende Projekt setzt sich als eine Aufgabe, an solchen Wegen neues Terrain zu erschließen. Neben Primzahlen, interessiert man sich in der Zahlentheorie auch für viele andere Arten von Zahlen und deren Verteilung. Sehr attraktiv sind beispielsweise Fragen, die sich im Bezug auf die Arithmetik bei der Betrachtung von analogen Uhren und deren Verallgemeinerung auf feiner unterteilte Ziffernblätter stellen. (Es geht also um Arithmetik in der beispielsweise 5+8=1 gilt, so wie der Stundenzeiger auf einer Uhr 5 Stunden nach 8 Uhr auf 1 Uhr zeigt.) Die ganzen Zahlen so um ein Ziffernblatt zu wickeln, gestattet oft auch wichtige Rückschlüsse auf die Beschaffenheit der Zahlen selbst. Eine klassische Frage beschäftigt sich nun damit, wie sich die Quadratzahlen, wobei das Quadrieren bezüglich der Uhr-Arithmetik zu verstehen ist, verteilen, wenn zunehmend feiner unterteilte Ziffernblätter betrachtet werden. Dabei interessiert man sich natürlich nicht nur für Quadratzahlen um der Quadrate willen, sondern muss diese Frage viel mehr als ein Prototypen für viele ähnliche Probleme verstehen, an dessen Fortschritt Zahlentheoretiker:innen den aktuellen Wissensfortschritt zu messen versuchen. Auch an dieser Front klafft eine breite Lücke zwischen dem, was für wahr vermutet wird und dem was bisher bewiesen werden konnte. Insbesondere besteht eine Diskrepanz zwischen dem, was um die Stunde Null herum bekannt ist und dem, was man abseits der Null weiß. Im vorliegenden Projekt stellen wir uns unter Anderem die Aufgabe, neue Methoden zu entwickeln, welche die angesprochene Diskrepanz zu verringern vermögen.