Analyse von Mehrphasenvesikeln und Membranen

Membranen und Vesikel spielen zweifellos eine zentrale Rolle in Biologie, Physik und Medizin, und ein tiefes Verständnis ihrer mathematischen Grundlagen ist ein wichtiges Ziel der Forschung. Die Komplexität der zugrundeliegenden Gleichungen stellt jedoch eine Herausforderung dar und erschwert ihr umfassendes Verständnis, insbesondere wenn man Membranen mit zusätzlichen Strukturen betrachtet und sich nicht nur auf homogene Membranen konzentriert. In den letzten Jahrzehnten wurden homogene Zellmembranen in der Mathematik intensiv untersucht, was zu zahlreichen Durchbrüchen wie dem Beweis der Willmore-Vermutung im Jahr 2012 durch Fernando Marques und Andre Neves führte. Unser Verständnis der Dynamik von Zellmembranen hat sich durch die bahnbrechenden Arbeiten von Mayer, Simonett, Escher, Kuwert, Schätzle und zahlreichen anderen Wissenschaftlern stark weiterentwickelt. Unser Ziel ist es, den logischen nächsten Schritt von homogenen Membranen zu Membranen mit zusätzlichen Strukturen zu machen. Konkret werden wir Zellmembranen untersuchen, die aus zwei oder mehr verschiedenen Materialien bestehen, wobei wir uns besonders auf ihre zeitliche Entwicklung konzentrieren. Wir modellieren das Verhalten der Membranen mit Hilfe des Canham-Helfrich-Funktionals, wobei wir die Parameter variieren, die die unterschiedlichen Eigenschaften der Materialien widerspiegeln. Zusätzlich berücksichtigen wir an den Grenzflächen zwischen den Membranen die elastische Energie oder die Länge dieser Kurven. Das Hauptziel dieses Forschungsprojekts ist es, erste analytische Ergebnisse für die zugrunde liegenden hochkomplexen Gleichungen zu erhalten. Dazu gehören die Untersuchung der lokalen Existenz von Lösungen, die evolutionäre Stabilität von lokalen Minima und die Analyse möglicher Singularitäten in endlicher oder unendlicher Zeit. Die zugrundeliegenden analytischen Gleichungen sind aus offensichtlichen Gründen praktisch unerforscht: Es handelt sich um kritische quasilineare Gleichungen für die verschiedenen Phasen der Zelle, gekoppelt mit zusätzlichen quasilinearen parabolischen Gleichungen an der Grenze, die ihre zeitliche Entwicklung beschreiben. Numerische Experimente der letzten Jahre deuten darauf hin, dass diese Gleichungen gut gestellt sind und interessante neue qualitative Eigenschaften aufweisen. Unser Ziel ist es, neue Einblicke in die komplexe Dynamik solcher Systeme zu gewinnen und analytische Ergebnisse zu liefern, die bisher nicht verfügbar waren. Unser Ziel ist es, die Grenzen der geometrischen Analyse in diesem Bereich nicht nur auszuloten, sondern sie auch erheblich zu erweitern.