Orthogonalität und Symmetrie

Die Quantenphysik ist eine recht gewöhnungsbedürftige Theorie, deren Verwendung, solange sich noch keine Routine eingestellt hat, mit einem gewissen Unbehagen einhergehen mag. Über die Jahre hinweg sind unzählige Ansätze zur Rechtfertigung des eigentümlichen Formalismus vorgeschlagen worden, die Grundlagendiskussion wird jedoch bis heute geführt. Mit unserer Projektarbeit möchten diesbezüglich auch wir einen Beitrag leisten. Dabei sind wir weniger mit der Physik selbst als vielmehr mit mathematischen Aspekten befasst. Es geht uns um diejenigen mathematischen Strukturen, die für die physikalische Modellierung grundlegend sind. In der Quantenphysik wird ein komplexer Hilbertraum oder, allgemeiner, eine C*- Algebra verwendet. Beider Definition ist nicht ohne mathematische Vorbildung verständlich, und die Frage liegt nahe, ob sich die Strukturen nicht auf einfachere zurückführen lassen. Wir knüpfen an die langjährigen, einst durch eine Arbeit von Birkhoff und von Neumann initiierten Bemühungen an, den Hilbertraum zu algebraisieren, d.h. beispielsweise die interne Struktur der Menge seiner Unterräume zu beschreiben. Unser Stichwort lautet Orthogonalität. Im Mittelpunkt steht damit ein Begriff, der in der Mathematik allenthalben vorkommt. Obwohl an eine klare geometrische Anschauung geknüpft orthogonal sind zwei Vektoren, die einen rechten Winkel bilden , ist der Begriff und seine Rolle in der Mathematik gar nicht so leicht fassbar. In der Quantenphysik werden die (reinen) Zustände eines physikalischen Systems durch Vektoren eines Hilbertraums beschrieben, und dass letztere orthogonal sind, bedeutet, dass die Übergangswahrscheinlichkeit vom einen in den anderen Zustand infolge einer Messung gleich Null ist. Bemerkenswerterweise ist diese binäre Relation strukturbestimmend; in gewissem Sinne ist der Hilbertraum auf den Begriff der Orthogonalität reduzierbar. Allein mit der Orthogonalitätsrelation ausgestattet bildet ein Hilbertraum eine sogenannte Orthomenge, und aus dieser lässt sich alles andere rekonstruieren. Teil des Projektes ist es, den betreffenden Typ von Orthomenge auf möglichst einfache Weise zu beschreiben. In ähnlicher Weise lässt sich auch einer C*-Algebra eine Orthomenge zuordnen, die in diesem Fall allein zur Beschreibung allerdings nicht ausreicht. Weiterer Teil des Projektes ist es, Wege zu finden, ohne große Umständlichkeiten die Beschreibung zu vervollständigen. Welcher Art Eigenschaften kommen für uns zur Spezifikation einer Orthomenge infrage? Hier kommt ein weiteres Stichwort ins Spiel: Symmetrie. Strukturerhaltende Selbstabbildungen sind in der Physik von zentraler Bedeutung und so auch in diesem Projekt. Der Begriff der Orthomenge ist genauso allgemein wie der eines ungerichteten Graphen; der Begriff der Symmetrie verweist auf die Weiten der Theorie der Gruppen; beide zusammengenommen scheinen jedoch, wenn es um die Charakterisierung in der Physik verwendeter Standardstrukturen geht, ein außerordentliches Potential zu bieten.