Spezielle L-Werte und p-adische L-Funktionen

Alles ist Zahl. (Pythagoras). In unserer modernen Welt sind Zahlen allgegenwärtig. In Technik, Politik, Wirtschaft, Wissenschaft, Religion, in Raum und Zeit überall weisen uns Zahlen auf tiefliegende Weise den Weg von Unordnung zu Ordnung, von Chaos zu Struktur. Zahlen bestimmen maßgeblich den Fortschritt unserer Gesellschaft, unseres Wohlstand sowie unsere Sicherheit. Ein bedeutendes Beispiel ist die für moderne Informationsgesellschaften unverzichtbare Datensicherheit. Effektiven Schutz unserer sensiblen persönlichen Informationen wie Kommunikationsdaten, Kontoinformationen oder Krankengeschichten zu garantieren unerlässlich für das Funktionieren unserer Gesellschaft ist Aufgabe von Daten-Verschlüsselungsverfahren. Zwei der heute wichtigsten Verschlüsselungsmethoden sind die sogenannte Elliptic Curve Cryptography (ECC) und die RSA- Verschlüsselung: Erstere schützt so wichtige Dinge des Alltags wie e-card, Bankomatkarten und Reisepässe; die Zweite sichert unsere tägliche Internet- und Telefon-Kommunikation und kommt in der Email- Verschlüsselung sowie im Electronic Banking zum Einsatz. Beide Verschlüsselungsmethoden beruhen auf gleichsam tiefliegenden wie faszinierenden Erkenntnissen der Zahlentheorie: ECC nützt die Komplexität rationaler Punkte unendlicher Ordnung auf elliptischen Kurven; RSA basiert auf einem der größten ungelösten Geheimnisse der Mathematik überhaupt, der Verteilung der Primzahlen. Diese beiden mathematischen Strukturen zu verstehen und zu beschreiben ist ein Jahrhunderte altes Problem der Mathematik: Die moderne Zahlentheorie weiß, dass gewisse hochkomplexe Funktionen sogenannte L- Funktionen die Beschreibung eben dieser beiden Strukturen kodieren. Diese L-Funktionen zu verstehen ist das vielleicht größte Ziel der modernen zahlentheoretischen Forschung. Dieses START-Projekt widmet sich in innovativer, mutiger und zukunftsweisender Weise einigen jener großen Herausforderungen, welche uns die Erforschung von L-Funktionen in ihren Grundlagen stellt. Das vorgelegte START-Programm basiert auf aufsehenerregenden, neuen Erkenntnissen des Projektleiters und seines Forschungsteams und zielt in seinen wissenschaftlichen Fragestellungen auf nichts minder als einen Durchbruch in der internationalen, zahlentheoretischen Forschung. Das geheimnisvolle Verhalten von L-Funktionen ist in mehreren berühmten Vermutungen der Zahlentheorie dargelegt. Dieses START-Projekt hat zum Ziel einige dieser Vermutungen einem konzeptuellen, weitreichenden Verständnis zuzuführen und so mit Innovation und Pioniergeist grundlagenwissenschaftliches Neuland zu beschreiten.

"Die Zahl ist Herr über Form und Idee, der Ursprung der Götter und Dämonen." (Pythagoras; nach Syrianus "Über Aristoteles Metaphysik", Buch 13) Die Zahlentheorie, jene älteste Disziplin der Mathematik, handelt von der geheimnisvollen Schönheit der Zahlen und ihrer gegenseitigen Beziehungen. Eines der Kernthemen der Zahlentheorie ist die Erforschung und Beschreibung der Primzahlen - jener mysteriöser Zahlen, welche nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Der Grund dafür, warum Primzahlen bis heute rätselhafte Objekte sind, liegt unter anderem darin, dass es noch immer höchst unklar ist, wie die Primzahlen unter allen Zahlen verteilt sind: Manchmal findet man gleich mehrere Primzahlen in kurzer Abfolge. Dann wiederum bricht ihre Verteilung in dieser Häufigkeit ab, sie werden selten und scheinen beinah gänzlich zu verschwinden. Jedoch wissen wir seit Euklid (300 v. Chr.), dass es unendlich viele Primzahlen gibt, d.h., ihr Fortschreiten endet nie und in der Tat tritt das eben beschriebene Phänomen von plötzlicher Häufigkeit und ebenso plötzlicher Seltenheit immer und immer wieder auf. Was aber ist der Grund für dieses rätselhafte Verhalten der Primzahlen? Die moderne Mathematik hat viele wirkmächtige Methoden und Zugänge entwickelt, dieses - bis heute ungelöste! - Problem einer Lösung zuzuführen: Mittlerweile weiß man, dass im Verhalten gewisser Funktionen, der sogenannten "L-Funktionen", eben jene bis heute mysteriöse Verteilung der Primzahlen kodiert ist. Gleichwohl haben diese L-Funktionen allen Versuchen sie in der Tiefe zu beschreiben bis heute widerstanden. Mit anderen Worten, genauso wie die Primzahlen selbst, bleiben die genauen Eigenschaften der L-Funktionen ein Buch mit sieben Siegeln. In unserem START-Projekt gelang es uns neues Licht auf bislang ungeklärte Eigenschaften von L-Funktionen zu werfen. Eine unserer wichtigsten Errungenschaften besteht hier darin wichtige Klassen von L-Funktionen an sogenannten "speziellen Werten" bestimmt zu haben: Diese speziellen Werte waren und sind seit über 300 Jahren ein zentrales Thema der mathematischen Forschung, als Euler (bekannt für die Eulersche Konstante "e", welche die Basis für exponentielles Wachstum darstellt) der Welt erste Formel zur Beschreibung der basalsten speziellen L-Werte beweisen konnte. Unsere Resultate ermöglichten es mehrere alte wie neue Probleme der Zahlentheorie zu lösen. Als ein wesentliches Beispiel sei hier erwähnt, dass wir zusammen mit unseren Koautoren zeigen konnten, dass eine berühmte Vermutung von Deligne aus 1979 wahr ist, so gewissen L-Funktionen an der Stelle s=1/2 nicht verschwinden - eine Hypothese, die allgemein selbst als wahr angesehen wird. Unser START-Projekt sollte daher auch als Hinweis dafür verstanden werden, warum das Studium von L-Funktionen ein überaus fruchtbares und vielversprechendes Unterfangen ist, das stets dazu in der Lage ist neue Meilensteine in der Mathematik zu setzen. Schon jetzt blicken wir mit Vorfreude in die Zukunft, in der wir noch einige weitere neue Entwicklungen anstoßen werden, die auf Erkenntnissen dieses START-Projekts aufgebaut sein werden.