Geometrische Eigenschaften transzendenter Funktionen

Bei vielen Problemen in der Mathematik geht es darum, Lösungen für Gleichungen zu finden. Während uns in der Schule Methoden zum Finden expliziter Werte für die Lösungen einiger einfacher Gleichungen beigebracht werden, kann es eine äußerst schwierige Aufgabe sein, Lösungen zu finden, wenn die Gleichungen viele Variablen oder ungewöhnliche Elemente wie Logarithmen oder trigonometrische Funktionen beinhalten. Anstatt zu versuchen, die expliziten Werte einiger Lösungen zu finden, können wir in solchen Fällen unsere Aufmerksamkeit darauf richten, die Geometrie der Lösungsmenge verstehen zu wollen. Beispielsweise möchten wir möglicherweise Gleichungen, die nur endlich viele Lösungen haben, von solchen, die unendlich viele Lösungen haben, unterscheiden. Und wenn die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, dann möchten wir auch wissen, ob diese Lösungen einem bestimmten Muster folgen, sodass wir, wenn wir eine Lösung der Gleichung kennen, dieses Muster verwenden können, um unendlich viele weitere Lösungen zu erzeugen. In meinem Projekt werde ich verschiedene Arten von Gleichungssystemen aus geometrischer Sicht untersuchen, um zu versuchen, das Verhalten der Lösungsmenge zu verstehen. In meinem Forschungsprojekt gibt es drei technische Hauptziele, aber die Hauptmotivation für alle besteht darin, eine bestimmte Art von Dichotomie in Bezug auf das Verhalten der Lösungsmengen zu beweisen: Entweder folgen die Lösungsmengen einigen einfachen, bekannten Mustern (und werden dadurch berechenbar) oder sie weisen keinerlei Regelmäßigkeiten auf. Mit anderen Worten: Das allgemeine Ziel besteht darin zu zeigen, dass die Lösungen völlig zufällig sind, wenn die Lösungsmenge spezieller Gleichungssysteme keiner uns bereits bekannten Regel folgt. Die Ziele dieses Projekts sind beeinflusst von einigen wichtigen offenen Problemen in der Mathematik, die vorhersagen, dass die oben beschriebene Dichotomie für die Lösungsmengen vieler Arten von Gleichungen gilt. In diesem Sinne würde meine Forschung zusätzliche Beweise dafür liefern, dass die erwähnten offenen Fragen eine positive Antwort haben. Fragen wie die, welche meine Arbeit motivieren, stammen aus einem Bereich der Zahlentheorie, der als unlikely intersections bekannt ist. Dies ist ein wichtiger Bereich aktiver Forschung, und ich hoffe, durch die Kombination von Techniken aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, wie Zahlentheorie, mathematischer Logik, und komplexer Analysis, zu unserem Verständnis dieser Fragen beitragen zu können.