Regularität für Stefan Probleme

Schmelzendes Eis in einem Glas Wasser ist ein typisches Beispiel für den Phasenübergang eines Materials. Ein Zwischenzustand des Materials tritt naturgemäß bei der Schmelztemperatur auf. Einige mathematische Modelle betrachten diesen als eine bewegliche Fläche zwischen den beiden Phasen, während andere eine Mischregion aus Eis und Wasser einführen. Das zugrundeliegende physikalische Modell beschreibt die Diffusion von Wärme in den beiden Phasen und den Energieaustausch im Zwischenzustand. Ein Material kann auch mehrere Zustände wie Eis-Wasser-Dampf haben und damit ein Beispiel für einen mehrphasigen Übergang liefern. Tatsächlich liegen bei einer Temperatur von 273,16 Kelvin und einem Dampfdruck von 611,657 Pascal Eis, Wasser und Dampf in einem stabilen Gleichgewicht vor. Daher können zwei Grenzflächen beobachtet werden. Eine weitere Motivation stammt aus der Erdölgeologie, nämlich die Sättigung zweier nicht mischbarer Flüssigkeiten in einem porösen Medium. In der Natur waren unterirdische Gesteine anfangs durchnässt - ihre Poren waren mit Wasser gesättigt. Es ist wichtig, zu verstehen, wie das Öl in einem Reservoir schließlich die Poren aufgefüllt hat, die davor von Wasser besetzt waren. Die Verdrängung des Wassers durch Öl geschieht durch den sogenannten Kapillardruck, der an der Grenzfläche der beiden nicht mischbaren Flüssigkeiten besteht. Der Kapillardruck steigt mit zunehmender Ölsättigung, wodurch die Wassersättigung abnehmen muss. Dieser Prozess setzt sich fort, bis das gesamte Wasser in der Mitte der Poren verdrängt ist und das einzige verbleibende Wasser die Schicht ist, die an den Gesteinskörnern haftet. Dann wird das verbleibende Wasser unbeweglich, egal wie hoch der Kapillardruck ist. Diese limitierende Sättigung des Wassers wird als irreduzible Wassersättigung bezeichnet. Diese Naturphänomene folgen bestimmten physikalischen Gesetzen, die durch die von uns untersuchten partiellen Differentialgleichungen beschrieben werden. Unser zentrales Ziel ist, mathematische Beweise dafür zu erbringen, dass die physikalischen Modelle ausreichend vollständige Beschreibungen innerhalb ihres theoretischen Rahmens sind. Das ist der eigentliche Sinn der von mir unternommenen mathematischen Anstrengungen, obwohl diese auch von intrinsischem Interesse sind.