Structured Non-Hermitian Random Matrices

The study of random matrices began in the 1950s with the pioneering work of Wigner to model the energy spacings of heavy nuclei. One of the primary interests in studying the spectral properties of random matrices comes from the universality phenomenon, that sufficiently complex systems can be effectively modeled by randomness. This idea has been used in physics to describe models beyond Wigners, in mathematics to study zeros of the Riemann zeta function, in engineering for wireless communication design, and many other research areas. Despite the ubiquity of random matrix statistics in numerous applications, there still remain many open questions in understanding universality of random matrices. Random matrices provide concrete models for investigating these universal statistics and are a powerful tool in mathematical modeling. Although they have successfully been used in a variety of applications, many current results require the entries of the random matrix to have the same distribution and a large amount of independence. In many examples, this is too restrictive and interesting phenomenon is not captured. In my research, I consider random matrix ensembles where more structure is imposed on the matrix or polynomials of random matrices are considered. It is conjectured that the local statistics of eigenvalues should appear in a large number of physical system. A first step toward this conjecture is to understand this universality phenomenon within random matrices but with the presence of additional structure and dependence. As an application of this research, I am working with biophysicist to apply spectral properties of random matrices to the dynamics of neural networks. We are interested in how the arrangement of networks in the brain effects the dynamics of neural activity. We have found that clustering of neurons can facilitate or inhibit chaotic dynamics.

Viele moderne Probleme in Wissenschaft und Technik involvieren hochdimensionale Systeme mit komplexen Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Komponenten. In solchen Systemen ist es unmöglich, jede Interaktion genau zu kennen. Seit der Pionierarbeit von Wigner in den 1950er Jahren zur Modellierung der Energiezustände schwerer Atomkerne sind Zufallsmatrizen zu einem wertvollen Werkzeug geworden, um hochdimensionale Phänomene zu verstehen. Die zentrale Erkenntnis ist, dass ausreichend komplexe Systeme "selbstmittelnd" werden und durch Zufälligkeit effektiv modelliert werden können. Diese Einsicht wurde in der Physik zur Beschreibung von Modellen jenseits des Wigner'schen, in der Mathematik zur Untersuchung von Nullen der Riemannschen Zeta- Funktion, in der Technik fur das Design drahtloser Kommunikation und in vielen anderen Forschungsfeldern verwendet. Trotz ihrer Allgegenwart in Anwendungen sind die Eigenschaften vieler Klassen von Zufallsmatrizen nicht sehr gut verstanden, was ihre Gultigkeit als Modellierungswerkzeug einschränkt. Ziel dieses Projekts ist die Untersuchung universeller Eigenschaften einer breiteren Klasse von Zufallsmatrix und ihrer Anwendungen auf die Dynamik großer, komplexer Systeme. Bis vor Kurzem war eine wichtige technische Annahme bei der Untersuchung von Zufallsmatrizen, dass die Einträge alle unabhängig und identisch verteilt sind. In Bezug auf die Modellierung dynamischer Systeme entspricht dies der Annahme, dass jede Komponente mit jeder anderen in gleicher Weise interagiert, ohne Einwirkung anderer Interaktionen. Dies ermöglicht die Einbeziehung räumlicher Information, sodass zwei Komponenten immer schwächere Wechselwirkungen aufweisen, je weiter sie voneinander entfernt sind. Es wird dadurch auch die Korrelation zwischen verschiedenen Verbindungen berucksichtigt. Ein wichtiges Beispiel ist wechselseitige Korrelation, denn mit dem Wissen, dass eine Komponente mit einer anderen interagiert, kann man erwarten, dass die zweite Komponente auch Einfluss auf die ersten hat. Als Anwendung unseres Verständnisses des Spektrums großer Zufallsmatrizen beweisen wir universelles Verhalten im Langzeitverhalten der Lösung eines großen Systems von linearen Differentialgleichungen mit Zufallskoeffzienten. Besonders bemerkenswert ist, dass in dem kritisch gekoppelten Regime- ein wichtiger Fall fur neurowissenschaftliche Modelle -die Lösung fur eine große Klasse von Zufallsmatrizen eine universelle polynomiale Abfallsrate aufweist. In solch großen Systemen ist es unmöglich, alle Einzelverbindungen zu messen, aber diese Ergebnisse zu Universalität implizieren, dass Systeme ähnliches Verhalten zeigen, solange einige Grundannahmen erfullt sind.