Inside the Frame Set

Das Projekt wird geleitet von Dr. Markus Faulhuber und beschäftigt sich mit den mathematischen Grundlagen der Signalverarbeitung, genauer der Zeit-Frequenz Analyse. Bei gegebenem analogen Signal, wollen wir lokale Informationen über bestimmte Frequenzbänder in einem kurzen Zeitintervall erhalten. Dies bedeutet dass wir einen Teil des Signals ausschneiden oder mit einer geeigneten Funktion, z.B. eine Gaussglocke, dämpfen. Danach soll das Signal in einfache Bausteine aus (Co-)Sinuskurven mit ganzzahliger Frequenz zerlegt werden. Dieser Prozess erlaubt es uns lokale Messungen des Signals vorzunehmen, sprich die Amplituden der Sinuskurven bzw. der aktiven Frequenzbänder zu extrahieren. Diese Messungen, auch Koeffizienten genannt, können dann an ein Empfangsgerät übertragen werden mit welchem die lokale Information wieder zum ursprünglichen Signal zusammengebaut werden kann. Ein Weg dies mathematisch zu realisieren sind sogenannte Gaborsysteme, benannt nach dem Physik Nobelpreisträger D. Gabor. Dieser untersuchte die genannte Theorie bereits 1946. Solche und ähnliche Systems entsprechen nun dem neuesten Stand der Technik und werden z.B. bei WLAN oder den 4G/5G Standards verwendet (um nur einige zu nennen). Obwohl die Theorie etliche Jahrzehnte alt ist, gibt es immer noch viele ungelöste mathematische Probleme. Eines davon ist die Frage nach der Anzahl der Samples pro Sekunde und wie man die Frequenzbänder am besten aufteilt um eine stabile Übertragung der Koeffizienten zu gewähren und so das Signal auch wieder stabil rekonstruieren zu können. Eines der ersten Resultate in diese Richtung, bekannt bereits in den 1930ern, ist das Samplingtheorem nach Whittaker-Nyquist- Kotelinkov-Shannon (WNKS). Es gibt eine hinreichende Bedingung für die Digitalisierung eines analogen Signals ohne Informationsverlust, unter der Annahme der Bandbeschränktheit. Das bedeutet dass die Koeffizienten von Sinuskurven welche über einer Grenzfrequenz liegen Null sind. Gaborsysteme kommen ohne diese Annahme aus und das WNKS Samplingtheorem kann als Spezialfall betrachtet werden. Ziel des Projekts ist es die mathematische Theorie solcher Samplingtheoreme für bestimmte Gaborsysteme voran zu treiben. Darüber hinaus wird auch der Frage nach optimalen Samplingstrategien für Gaborsysteme nachgegangen. Diese Fragen können in der Regel nicht allgemein beantwortet werden und hängen zum Teil auch von der Situation und dem gewählten System ab. Die allgemeinen, mathematischen Resultate sind zudem oft nur für 1-dimensionale Signale (welche die Messung von Schallwellen, EEG, EKG, etc. umfassen) bekannt und es ist oft unklar ob entsprechende Resultate für 2-, oder 3- (oder höher-) dimensionale Signale gelten. Die Theorie für höher-dimensionale Signale weiter zu entwickeln ist ebenfalls ein Ziel des Projekts. Zuletzt seien noch Beobachtung erwähnt, welche enge Zusammenhänge zwischen Gaborsystemen und Zahlentheorie aufzeigen. Diese weiter zu verfolgen ist von unabhängigem, mathematischem Interesse.

The primary goal of the project was to gain a deeper understanding of the mathematics of signal processing. The overall theme is that we have an analog signal, which we need to sample to obtain a digital signal that can be processed, transmitted, and reconstructed at a receiver. This is highly relevant in wireless communication, and we sought to enhance the mathematical understanding behind methods used, e.g., in 4G and 5G communication. One of the most important and frequently used tools in applied mathematics, engineering, mathematical physics, and many other sciences is the Fourier transform, which sends a signal to its frequency spectrum. In signal processing, a localized version, known as the short-time Fourier transform (STFT), is used. The idea of using samples of the STFT in communication theory can be traced back to a seminal work from 1946 by Nobel laureate Dennis Gabor. In the project, we studied the eponymous Gabor systems and established numerous new results in the field. We could answer a question on optimal sampling strategies that has been open for 20 years. Moreover, we provided intriguing and unexpected insights into the so-called frame set of specific Gabor systems, which is the collection of sampling schemes that allow for stable reconstruction of digitized signals. Our theoretical findings give new results when such reconstruction is possible. The results were unexpected, as previous work had pointed in the opposite direction. We were also able to make significant progress in the area of crystallization from mathematical physics, where the aim is to understand why and when particles tend to form crystal structures. This is due to the mathematical analogy between signal processing and mathematical physics. Of independent interest are the established connections we found between the mathematics of signal processing and the geometry of numbers.