Gradientenflusstechniken für Quantenmarkovsche Halbgruppen

Die Quantenmechanik beschreibt physikalische Systeme auf mikroskopischer Skala. Ist ein solches System offen, steht also in Wechselwirkung mit seiner Umgebung, so kann seine Zeitentwicklung mathematisch mittels quantenmarkovscher Halbgruppen modelliert werden. Ein allgemeines Phänomen solcher offenen Syteme ist die Rückkehr zum Gleichgewicht: Befindet sich die Umgebung im thermodynamischen Gleichgewicht, so nähert sich auch der Zustand des damit wechselwirkenden offenen Systems mit der Zeit dem Gleichgewicht. Dies ist beispielsweise eine Herausforderung für den Bau von Quantencomputern, da diese Dekohärenz dazu führt, dass ein präparierter Quantenzustand sich mit der Zeit immer weniger vom Rauschen der Umgebung unterscheidet. Es von Interesse, jenseits dieser qualititativen Beobachtung auch quantitative Aussagen über die Annäherung ans Gleichgewicht zu treffen. Eine allgemeine Methode dafür liefert die Theorie der Gradientenflüsse. Die Zeitentwicklung eines offenen Systems ist ein Gradientfluss, falls die Abweichung vom Gleichgewicht zu jeder Zeit nicht nur abnimmt, sondern schnellstmöglich abnimmt. Um dies präzise zu fassen, bedarf es eines Maßes für die Abweichung eines Systems vom Gleichgewicht und einer daran angepassten Metrik auf dem Abstandsraum, das heißt eines Maßes für den Abstand zweier Zustände des Systems. Ein Ziel dieses Projekts ist es, eine solche angepasste Metrik auf dem Zustandsraum für eine ganze Klasse von Maße für den Abstand vom Gleichgewicht zu konstruieren. Zu diesem Zweck ist es nötig, ein genaues Verständnis der Struktur der quantenmarkovschen Halbgruppen, die die Zeitentwicklung offener Quantensysteme beschreiben, zu haben. Dabei gibt es eine faszinierende Korrespondenz zwischen quantenmarkovsche Halbgruppen und sogenannten Derivationen Operationen, die eine Produktregel ähnlich der gewöhnlichen Ableitung erfüllen. Bisher jedoch beschränkt sich diese Theorie auf den (rein theoretischen) Fall, dass die Umgebung des offenen Systems unendliche Temperatur hat. Das zweite Ziel dieses Projekts ist es, diese Korrespondenz für Systeme in einer Umgebung bei endlicher Temperatur zu erweitern.

In diesem Projekt wurden wesentliche Fortschritte gemacht in der Beschreibung der Struktur der Gleichungen, die die Zeitentwicklung offener Quantensysteme beschreiben, welche an eine Umgebung im thermodynamischen Gleichgewicht gekoppelt sind. Für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden sind diese Gleichungen gut verstanden, aber für Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden waren sie bisher nur in einigen Spezialfällen charakterisiert worden. Insbesondere wurden diese Mastergleichungen für die GNS-Version der detaillierten Gleichgewichtsbedingung fast vollständig charakterisiert und für die KMS-Gleichgewichtsbedingung wurden neue Verbindungen zu Derivationen hergestellt, welche selbst für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden neu sind. In der Analyse des Langzeitverhaltens offener Quantensysteme wurde gezeigt, dass Gradientenflussmethoden stark genug sind, um die optimale Abfallrate der relativen Entropie für Qubit-Systeme zu beweisen. Die Fortschritte im Studium des Langzeitverhaltens offener Quantensysteme haben darüber hinaus zu neuen Einsichten und der Lösung einer leicht abgeschwächten Version einer Vermutung von Montanaro und Osborne in der Quanteninformationstheorie geführt mit Anwendungen auf Algorithmen zum Quantenlernen. Auf der rein mathematischen Seite hat dieses Projekt den Weg geöffnet für die Anwendung von Derivation in der Deformations- und Rigiditätstheorie von Typ III von-Neumann-Algebren. Weiterhin wurde eine neue Klasse von von-Neumann-Algebren eingeführt, die zentrale Objekte der operatorwertigen freien Wahrscheinlichkeitstheorie verallgemeinern und neue strukturelle Erkenntnisse für diese ermöglichen.