Konfigurationsräume über nicht-glatte Räume

KonfigurationenSysteme von mehreren identischen Teilchen in einer einzigen Umweltbeschreiben ein breites phänomenologisches Spektrum in multiplen Kontexten und auf einer beliebigen Skala: von der Interaktion unter physikalischen Körper bis zu dem sozialen Verhalten eines Kollektivs, von Sandkörner zu Galaxien in dem Universum. Beispiele davon sind ionische Nebel in einem elektromagnetischen Feld, dem eigenen Gravitationsfeld unterliegende Sternhaufen, Fisch-Schulen, sich einstimmig im Straßenverkehr bewegende selbstfahrende Kraftfahrzeuge. Das hinter solchen komplexen Systemen zugrundeliegende Prinzip ist, dass jedes einziges Teilchen für sich zu analysieren keine effektive Beschreibung des Systems in seiner Gesamtheit darstellt: der Teilchenzahl einer Konfiguration (von Molekülen, Individuen, usw.) ist immer so groß, dass man diesen praktisch als unendlich betrachten kann. Der Konfigurationsraum über einem gegeben Basisraumdie Menge aller Konfigurationen in einer gegebenen Umweltist das geeignete mathematische Objekt, diese Unendlichkeit anzusprechen. Es ist bereits bekannt, dass Konfigurationsräume verschiedene Eigenschaften von der entsprechenden Basisräume beerben, bzw. analytische Eigenschaften wie Vollständigkeit, geometrische Eigenschaften wie Krümmung, stochastische Eige nschaften wie die Existenz von zufälligen Konfigurationsevolutionen, die im Zusammenhang mit der zufälligen Evolutionen der zu einer gemeinsamen Interaktion unterliegenden einzigen Teilchen beschreibt werden können. Die aktuelle Forschung in dieser Richtung bezieht sich aber lediglich auf glatte Basisräume wie d er drei-dimensionale euklidische Raum oder ein einschaliges Hyperboloid. Ziel des Projekts ist, diese Theorie zu nicht-glatten Basisräume zu erweitern, und zwar von den einfachsten, wie Kegel, bis zu den anspruchsvollsten und faszinierendsten, wie Fraktalen. Solche singuläre Basisräume sind für reale Anwendungen erforderlich und einschließen insbesondere Gebiete mit Hindernissen (Felsen und Barriereriffe die Fisch- Schulen ausweichen) und Netzwerke (Straßennetze zu den Kraftfahrzeuge verpflichtet sind). Zusammen mit nicht-glatte Räume wird das Projekt sowohl singulären Interkationen ansprechen, die Funktionen der Distanz der Teilchen voneinander sind, als auch die stochastische Dynamik eines markierten Teilchens in dem System, z.B. ein in einem Fischschwarm jagender Räuber, oder eine elektrisch geladene Sondenteilchen im Plasma.

Die im Rahmen dieses Projekts durchgeführte Forschung hat unser Verständnis der mathematischen Beschreibung von Konfigurationen - Ensembles unendlich vieler identischer Teilchen, die möglicherweise physikalischen Kräften unterliegen - erheblich erweitert. Diese abstrakte Beschreibung findet breite Anwendung, von dem Verhalten von Gasmolekülen unter elektromagnetischen Wechselwirkungen bis hin zur Dynamik von Galaxienhaufen, die durch Gravitationskräfte gesteuert werden. Insbesondere bietet sie effektive Einschränkungen für das Langzeitverhalten solcher Teilchensysteme, wenn zufällige Kräfte aufgrund von Energiefluktuationen innerhalb des Systems auftreten. Aus mathematischer Sicht hat das Projekt ein umfassendes Verständnis des Konzepts der "Krümmung" sowohl für lokale als auch nicht-lokale Dynamiken auf Konfigurationsräumen geliefert. Die Ergebnisse zeigen, dass diese Räume nicht flach sind, sondern vielmehr untere Schranken für eine geeignete lokale Krümmung, insbesondere die "Ricci-Krümmung," aufweisen. Im Zuge der Erarbeitung dieser und weiterer Ergebnisse für Konfigurationsräume wurden mehrere mathematische Werkzeuge entwickelt, die umfangreiche Anwendungen auf andere Probleme haben, einschließlich der Untersuchung unendlicher Systeme und allgemeiner unendlich-dimensionaler Räume. Diese neu entwickelten Werkzeuge umfassen insbesondere: Darstellungen der Evolution des Systems als "Summe" all seiner dynamisch invarianten Teile. Dieser Ansatz ermöglicht es, sich auf jedes einzelne invariante Element zu konzentrieren, anstatt auf das System als Ganzes, und reduziert so die Komplexität des Systems auf die seiner minimalen Bestandteile. Zusätzlich bieten die Werkzeuge ein äußerst allgemeines Verständnis von leicht überprüfbaren lokalen Bedingungen für die globale Konvergenz der Dynamik in Abwesenheit von Energiefluktuationen. Sie liefern zudem effektive synthetische Beschreibungen von unteren Schranken der Krümmung, formuliert in Bezug auf eine neu eingeführte Metrik zum Vergleich unterschiedlicher Konfigurationen desselben Teilchensystems. Schließlich haben die im Rahmen des Projekts entwickelten Werkzeuge bedeutende Anwendungen bei der Untersuchung der stochastischen Entwicklung von Dichteprofilen gefunden. Diese Werkzeuge bieten ein Framework zur Beschreibung von Teilchensystemen auf der Mesoskala - jenseits der Mikroskala - durch stochastische partielle Differentialgleichungen wie die berühmte Dean-Kawasaki-Gleichung.