Die Logik der Abstraktion

Abstraktionistische Programme in der Philosophie der Mathematik sind grundlegende Projekte, die sich auf Theorien (bzw. Logik und einem oder mehreren Abstraktionsprinzipien) basieren. Die meisten dieser Programme lassen sich von Freges Logizismus inspirieren und teilen die Thesen dieses bahnbrechenden Projekts, nämlich die Apriorität der Arithmetik und die platonische Natur ihres Bereichs. In diesem Projekt werde ich mich auf die formale Zufuhr und die philosophische Bedeutung des logischen Hintergrunds dieser Programme konzentrieren, um nicht-klassische Überarbeitungen zu untersuchen. Diese Untersuchung zielt darauf ab, die kritischen Probleme in Bezug auf die standardmäßigen (nämlich auf der klassischen Logik basiert und die einen Fregeschen philosophisch Charakter besitzen) abstraktionistischen Programme zu analysieren. Die klassische Logik spielt eine entscheidende - wenn auch wenig bekannte - Rolle sowohl bei der Herleitung jedes abstraktionistischen Paradoxons als auch beim Scheitern aktueller Kriterien der Logik bei abstrakten Entitäten. Das Ziel der Vorstufe ist es, die traditionelle Wahl der klassischen Logik zu untersuchen, um zu zeigen, dass sie tief mit dem philosophischen Ziel der Frege`schen Projekte verbunden ist. Einerseits bietet die klassische Logik einen soliden Hintergrund für die vollständige Referentialität der Sprache, die wiederum eine notwendige Bedingung für die Apriorität der Abstraktionen ist. Andererseits beinhaltet die Semantik der klassischen Logik eine standardisierte Denotationsfunktion, die wiederum erforderlich ist, um eine platonische Metaphysik aufrechtzuerhalten. Die Kombination all dieser Vorschläge wird deutlich machen, dass selbst wenn es keine starken formalen Gründe gibt, stehen starke philosophische Beweggründe zur Verfügung, die klassische Logik zu bevorzugen, wenn es eine fregeanische und platonische Berufung gibt. Eine solche Bedingung schlägt es vor, sich auf die formalen Ergebnisse zu konzentrieren und dementsprechend einen weniger bekannten philosophischen Weg zu beschreiten: Einerseits erlaubt es die Infragestellung der Annahme der klassischen Logik, sich mit Paradoxon und Logizität zu befassen; andererseits erfordert der Verzicht auf die klassische Logik implizit eine neutrale philosophische Sicht auf die Abstraktion, die für epistemische und metaphysische Alternativen zum Frege`schen Platonismus offen ist. Daher besteht das übergreifende Ziel dieses Projekts darin, die implizite Annahme in Frage zu stellen, dass die klassische Logik der beste logische Rahmen für abstraktionistische Programme ist. Die Forschung wird von den folgenden Forschungsfragen geleitet. Die erste Frage lautet, welche notwendigen Bedingungen die Abstraktionsprinzipien und die logischen Axiome erfüllen müssen, um mathematische und philosophische Ergebnisse zu erzielen. Die zweite Frage untersucht, ob und wie die Annahme einer nicht-klassischen Logik eine partielle Äquivalenzrelation auf der rechten Seite der Abstraktionsprinzipien liefern könnte, die fähig ist, ihre paradoxen Effekte zu vermeiden und ihre mathematischen Konsequenzen zu verbessern. Die dritte Frage lautet, ob und wie die Annahme einer nicht-klassischen Logik mit einer weniger anspruchsvollen Interpretation der Abstraktionsprinzipien vereinbar sein und eine Auswirkung über ihre semantischen Eigenschaften besitzen könnte. Schließlich wird das abstraktionistische Projekt, dass sich aus der Annahme eines nicht-klassischen Logikhintergrunds ergibt, durch die Linse vom Deflationismus analysiert. Ein solcher neuer Ansatz befreit den Abstraktionismus von der philosophischen Verpflichtung zum Platonismus und ermöglicht einen wirklichen Vergleich zwischen logischer und strukturalistischer Abstraktion.