Resultate zur Rigidität in CD(K,N) Räumen mit negativem N

Das Ziel dieses Projekts ist es die analytischen und geometrischen Eigenschaften von metrischen Maßräumen (sog. metric measure spaces) mit einer von unten beschränkten Riccikrümmung und negativer effektiver Dimension zu untersuchen. Zugegebenermaßen klingt es seltsam eine negative effektive Dimension zuzulassen wenn man sie bloß als obere Schranke der topologischen Dimension sieht; Es stellt sich aber heraus, dass es in dem Zusammenhang der gewichteten Riemann`schen Mannigfaltigkeiten mit gewissen konkaven Gewichten nützlich ist negative effektive Dimensionen zuzulassen um die Geometrie dieser Mannigfaltigkeiten besser zu verstehen. Insbesondere spielt dieses Konzept eine Rolle in der Physik der skalaren Tensor Gravitationstheorien und der niedrig- energetischen Approximationen der Stringtheorie. Ein prototypisches Beispiel dieser Strukturen ist gegeben durch die n-dimensionale Sphäre zusammen mit dem harmonischen Maß. Daher ist es möglich und sinnvoll diese Idee in den Rahmen der metrischen Maßräume zu verallgemeinern welcher viele Strukturen enthält die sehr weit von den Euklidischen sind. Die sogenannten CD Räume sind metrische Maßräume in denen eine untere Schranke an die Krümmung und eine obere Schranke an die Dimension, in der Sprache des optimalen Transports, gelten. Das Ziel des Projekts ist es neue Eigenschaften für diese Klasse herzuleiten. Wohingegen CD Räume mit positiver Dimension in den letzten Jahren von zentralem Interesse in der Forschung waren, gibt es wesentlich weniger Resultate in dem Fall dieser Räume mit negativer effektiver Dimension. Die Klasse von Räumen beinhaltet erheblich allgemeinere und singulärere Strukturen als solche mit positiver Dimension. Daher werden wir neue Resultate in der Analysis von CD Räumen herleiten und neue Techniken entwickeln um die Geometrie von sehr allgemeinen metrischen Maßräumen zu untersuchen. Insbesondere werden wir in diesem Rahmen: (1) ein geeignetes Energiefunktional definieren und eine Version der Bochnerungleichung beweisen; (2) Regularisierungs- und Kontraktionseigenschaften der Wärmeleitungsgleichung zeigen; (3) Rigiditätseigenschaften dieser Strukturen beweisen. Das ist möglich durch eine originelle Synthese von Techniken aus der Theorie des optimalen Transports und der Theorie der metrischen Geometrie.