Fixpunktprobleme und isoperimetrische Ungleichungen

Die Brunn-Minkowski Theorie konvexer Körper ging aus Untersuchungen des Zusammenspiels zweier geometrischer Grundbegriffe hervor: der Vektoraddition und des Volumens. Eines der Hauptziele der Theorie ist die Untersuchung verallgemeinerter isoperimetrischer Probleme für konvexe Körper. Das einfachste und grundlegendste Beispiel solcher Probleme ist das klassische isoperimetrische Problem, welches Volumen und Oberfläche eines Körpers in Beziehung setzt: Unter allen Körpern mit einem gegebenen Volumen minimieren nur Euklidische Kugeln die Oberfläche. Dieses klassische Beispiel lässt sich auf viele Arten verallgemeinern, indem man Volumen und Oberfläche durch andere globale geometrische Invarianten ersetzt. In diesem Projekt betrachten wir geometrische Invarianten, die über das Volumen von Bildern konvexer Körper unter gewissen geometrischen Operatoren, sogenannten Minkowski Bewertungen, definiert sind. Mit Methoden der Variationsrechnung werden wir dieSuche möglicher Optimierer dieser verallgemeinerten isoperimetrischen Probleme auf die Suche von Fixpunkten besagter geometrischer Operatoren zurückführen. Ebenso werden wir Erweiterungen unserer Probleme im Sinne der Lp-Brunn-Minkowski Theorie betrachten. Die Lp-Brunn-Minkowski Theorie geht wesentlich über die klassische Brunn- Minkowski Theorie hinaus und hat sich durch ihre rasche Entwicklung als Forschungsgebiet innerhalb der konvex geometrischen Analysis etabliert. Wir werden uns auch mit den neueren Untersuchungen in komplexen Vektorräumen ause inandersetzen und diesbezüglich Versionen isoperimetrischer Probleme betrachten.