Die Brunn-Minkowski Theorie konvexer Körper ging aus Untersuchungen des Zusammenspiels zweier
geometrischer Grundbegriffe hervor: der Vektoraddition und des Volumens. Eines der Hauptziele der
Theorie ist die Untersuchung verallgemeinerter isoperimetrischer Probleme für konvexe Körper. Das
einfachste und grundlegendste Beispiel solcher Probleme ist das klassische isoperimetrische Problem,
welches Volumen und Oberfläche eines Körpers in Beziehung setzt: Unter allen Körpern mit einem
gegebenen Volumen minimieren nur Euklidische Kugeln die Oberfläche.
Dieses klassische Beispiel lässt sich auf viele Arten verallgemeinern, indem man Volumen und
Oberfläche durch andere globale geometrische Invarianten ersetzt. In diesem Projekt betrachten wir
geometrische Invarianten, die über das Volumen von Bildern konvexer Körper unter gewissen
geometrischen Operatoren, sogenannten Minkowski Bewertungen, definiert sind. Mit Methoden der
Variationsrechnung werden wir dieSuche möglicher Optimierer dieser verallgemeinerten
isoperimetrischen Probleme auf die Suche von Fixpunkten besagter geometrischer Operatoren
zurückführen. Ebenso werden wir Erweiterungen unserer Probleme im Sinne der Lp-Brunn-Minkowski
Theorie betrachten. Die Lp-Brunn-Minkowski Theorie geht wesentlich über die klassische Brunn-
Minkowski Theorie hinaus und hat sich durch ihre rasche Entwicklung als Forschungsgebiet innerhalb
der konvex geometrischen Analysis etabliert. Wir werden uns auch mit den neueren Untersuchungen in
komplexen Vektorräumen ause inandersetzen und diesbezüglich Versionen isoperimetrischer Probleme
betrachten.