Affine Quantengruppen: von Geometrie bis zur Kategorisierung

Die Darstellungstheorie ist ein Bereich der reinen Mathema k an der Schni stelle von Algebra, Geometrie und Kombinatorik. Ihre Hauptphilosophie besteht darin, komplizierte mathema sche Objekte auf indirekte Weise zu studieren, indem man ihre Wirkung auf sehr einfache, konkrete und gut verstandene Objekte untersucht. Metaphorisch betrachtet man die Scha erungen dieser Objekte, um ihre wesentlichen Eigenscha en zu erraten, ansta zu versuchen, sie direkt zu beobachten. Die Darstellungstheorie war in den letzten Jahrzehnten ein äußerst ak ves Forschungsgebiet und hat sehr efe Verbindungen und Anwendungen zu anderen Bereichen wie der mathema schen Physik. Die Hauptmo va on für die Projekte des Vorschlags des Principal Inves gators ergibt sich aus der reichhal gen Darstellungstheorie von Objekten, die als Quantengruppen bezeichnet werden und die eingeführt wurden, um Fragen aus der Quantenmechanik und der Hochenergiephysik zu behandeln. Im Mi elpunkt der Projekte des Principal Inves gators stehen bes mmte bemerkenswerte Invarianten, die sich auf natürliche Weise aus der Darstellungstheorie von Quantengruppen ableiten lassen. Der Hauptzweck des vorliegenden Vorschlags besteht darin, neue Interpreta onen dieser Invarianten aus verschiedenen Blickwinkeln, wie Geometrie oder Kategorientheorie, zu liefern. Erstere kann zu höchst nicht-trivialen geometrischen K o n s t r u k o n e n f ü h r e n , d i e e i n e n g r o ß e n Te i l d e r darstellungstheore schen Daten erfassen. Letzteres deutet auf efe Verbindungen zu Theorien hin, die dank jüngster Durchbrüche, die sich auf kategorientheore sche Werkzeuge stützen, entstanden sind. Viele grundlegende Aspekte dieser Theorien sind noch unerforscht oder sehr o en, so dass die Herstellung von Verbindungen mit der Darstellungstheorie von Quantengruppen möglicherweise erhebliche Auswirkungen haben könnte. ti tt ti ti ff ti ti ti ti ti ti ft ti tti ti ti tt tt ti ti ti ti