Geometrische Analysis auf CR-Mannigfaltigkeiten

In der Mathematik werden partielle Differentialgleichungen (PDE) zur Modellierung der meisten Naturphänomeneverwendet, wie z.B. die Ausbreitung von Wärme oder die Bewegung von Flüssigkeiten. Bis in die 1950er Jahre wurde allgemein angenommen, dass jede PDE mit geeigneten Annahmen gelöst werden konnte. Hans Lewy hat jedoch ein Beispiel für eine "abweichende" PDE geliefert, die nicht gelöst werden kann, obwohl es sich um eine sehr schöne und einfache PDE handelt. Dieses Beispiel löste eine Untersuchung derLösbarkeit von PDEsund ihrer Beziehung zur Regularitätstheorie aus. Unser Forschungsprojekt konzentriert sich auf eine Situation, in der die Lösungen einer großen Klasse von PDEs, die als tangentiale CR-Gleichungen bekannt sind, eine geometrische Interpretation haben. In diesem Kontext entspricht die PDE einem abstrakten geometrischen Objekt, einer CR-Mannigfaltigkeit, und ihre Lösbarkeit (Integrabilität) wird als Fähigkeit interpretiert, dieses geometrische Objekt in einem konkreten euklidischen Raum durch eine Einbettung zu realisieren. Es gibt lokale sowie globale Probleme in unserem Kontext, die jeweils ihre eigenen Fragen aufwerfen. Die meisten globalen Lösungen, die sich mit CR- Mannigfaltigkeiten befassen, erfordern immer starke Annahmen über d ie Struktur, und es sind nur wenige optimale Ergebnisse bekannt. Unser Projekt hat zwei Hauptziele. Das erste Ziel besteht darin, die "schönen" Annahmen zu untersuchen, die für die CR-Einbettbarkeit notwendig sind. Um dies zu erreichen, werden wir die Spektraltheorie und die Kerntheorie des Kohn- Laplace-Operators untersuchen, der ein grundlegender Laplace-Operator ist, der in CR-Mannigfaltigkeiten verwendet wird. Diese Theorien stehen in engem Zusammenhang mit dem CR-Einbettungsproblem. Das zweite Ziel unseres Projekts ist es, die CR-Transversalität zu untersuchen, die eine weitere wichtige Eigenschaft darstellt, die sich bei der Abbildung zwischen zwei CR- Mannigfaltigkeiten ergibt. Es handelt sich um ein eigenständiges, aber verwandtes Problem zum Einbettungsproblem. Konkret wollen wir gute geometrische Bedingungen für die CR-Transversalität finden, wenn die Quell- und Ziel-CR-Mannigfaltigkeiten in komplexen Räumen unterschiedlicher Dimensionen existieren.