Das Maxwell-Stefan-Problem mit intïrentem Zufall

Stellen Sie sich vor, Sie mischen Wasser und Alkohol in einem Gefäß. Die Moleküle bewegen sich von Bereichen hoher zu niedriger Konzentration sie diffundieren. Alkohol breitet sich dabei meist schneller aus als Wasser, da seine Moleküle kleiner sind und schwächere Bindungen eingehen. In Mischungen hängt die tatsächliche Diffusionsgeschwindigkeit jedoch nicht nur von jeder Substanz einzeln, sondern auch von ihren Wechselwirkungen ab. Genau hier setzt das MaxwellStefan-Modell an. Es beschreibt Diffusion als ein Gleichgewicht zwischen Konzentrations-, Druck- oder Temperaturgradienten und Reibungskräften, die zwischen allen Komponenten wirken. Das Modell bildet Gegenstromeffekte und konzentrationsabhängige Diffusion realistisch ab, weit präziser als einfache Ficksche Ansätze. Ein bemerkenswertes Phänomen ist die sogenannte uphill diffusion: Dabei kann der Fluss einer Komponente zeitweise in Richtung höherer Konzentration verlaufen also entgegen dem Gradienten. Das geschieht etwa bei starken molekularen Wechselwirkungen oder sehr unterschiedlichen Diffusionsraten der Stoffe. Sind diese Unterschiede groß, kann es zur Phasentrennung kommen es bilden sich Bereiche, in denen fast nur eine Komponente vorliegt (zum Beispiel fast nur Alkohol oder fast nur Wasser). Kommen zusätzlich chemische Reaktionen ins Spiel, entstehen räumliche Muster wie spots oderstripes. Makroskopische Modelle entstehen, indem man über sehr viele Teilchen mittelt; dabei werden kleinskalige Fluktuationen oft ausgeblendet. In der realen Welt schwanken jedoch zusätzlich Temperatur, Materialeigenschaften, Strömungen und Randbedingungen. Diese Störungen führen zu zufälligen Abweichungen vom idealisierten Verhalten. Um die Realität realistischer abzubilden, sollten solche Schwankungen gezielt berücksichtigt werden. Dazu erweitern wir die makroskopischen Gleichungen um stochastische Terme. So lassen sich kleine zufällige Störungen räumlich und zeitlich erfassen, Unsicherheiten sichtbar machen und Vorhersagen robuster gestalten. Zugleich eröffnen stochastische Modelle die Möglichkeit, experimentell beobachtete Phänomene zu erklären, die deterministische Modelle nicht erfassen etwa noise-induzierte Muster, Uphill-Diffusion oder spontane Phasenselektion. In unserem Projekt untersuchen wir das MaxwellStefan-System und verwandte Mehrkomponenten-Diffusionsmodelle. Wir führen stochastische Terme ein, um zufällige Fluktuationen abzubilden, die in klassischen Modellen gemittelt werden. So wollen wir die durch Ionenwechselwirkungen beeinflussten Transporteigenschaften, insbesondere die Leitfähigkeit, realistischer beschreiben. Der erste Teil des Projekts widmet sich theoretischen Fragen wie Existenz, Eindeutigkeit und Ergodizität sowie den Auswirkungen von Gradientenrauschen auf das Langzeitverhalten. Darauf aufbauend entwickeln wir numerische Methoden, um diese stochastischen Systeme zu simulieren und ihre makroskopischen Effekte quantitativ zu analysieren.