Fortgeschrittene Anwendungen & Analyse von Trefftz-Methoden

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) beschreiben die Beziehungen zwischen den partiellen Ableitungen von mehrdimensionaler Funktionen und sind entscheidend für die Modellierung verschiedener physikalischer, chemischer und biologischer Phänomene. Numerische Methoden sind rechnergestützte Techniken, die zur Annäherung von Lösungen für PDEs eingesetzt werden, insbesondere wenn analytische Lösungen schwierig oder unmöglich zu erhalten sind. Die Finite- Elemente-Methode (FEM) ist eine solche Technik, bei der der Problemraum in kleinere Elemente unterteilt wird, um die Approximation unter Verwendung stückweise definierter Funktionen mit lokalisiertem Einfluss zu erleichtern. Trefftz-Methoden reduzieren die Berechnungskosten numerischer Methoden für PDEs indem sie spezielle Funktionen zur Approximation nutzen. Trefftz-Basisfunktionen werden häufig in Kombination mit diskontinuierlichen Galerkin-Methoden (DG) verwendet. DG-Methoden sind Finite- Elemente-Methoden, die Diskontinuitäten in den diskreten Räumen zulassen und somit gut geeignet sind, nicht-standardisierte Basisfunktionen zu berücksichtigen. Traditionell sind Trefftz-Methoden auf PDE-Probleme ohne rechter Seite und konstanten Koeffizienten beschränkt und erfordern in der Regel die explizite Konstruktion von Trefftz-Basisfunktionen. Ziel dieses Projekts ist es die Trefftz-DG-Methode zu erweitern, um sie zu einem vielseitigen Werkzeug zur Reduzierung der Freiheitsgrade diverser numerischer Problemen zu machen. Wir werden analytische Werkzeuge für fortgeschrittene Anwendungen und Analysen von Trefftz-Methoden entwickeln. Unsere Forschung wird Verbindungen zwischen Trefftz-Methoden und angrenzenden Themen wie nicht-angepassten Finite-Elementen, Problemen in heterogenen Medien und Anwendungen in der Strömungsdynamik herstellen. Schlüsseltechniken umfassen die Quasi-Trefftz- und die eingebettete Trefftz-Methode, die Beschränkungen der Standard-Trefftz-Methode aufheben und die Notwendigkeit der expliziten Konstruktion von Trefftz-Basisfunktionen umgehen.