Quasi-zufälliges Verhalten deterministischer Folgen

Ziel dieses Projekts ist es, das Verständnis der lokalen Verteilung von Polynomfolgen modulo 1 zu vertiefen und das Verhalten verschiedener morphischer Folgen über Teilmengen von ganzen Zahlen zu untersuchen. Die Verteilung modulo 1 ist in der Zahlentheorie und im Bereich des Quantenchaos von großem Interesse, insbesondere im Hinblick auf die Berry- und Tabor-Vermutungen zu den Energielevels integrierbarer Systeme. Eine gängige zufällige Eigenschaft ist die Gleichverteilung, die in den klassischen Arbeiten von Weyl und anderen umfassend untersucht wurde. In jüngerer Zeit haben Rudnick, Sarnak und Zaharescu mit der Untersuchung lokaler Eigenschaften solcher Folgen begonnen, einschließlich der Lückenverteilung. Derzeit gibt es nur wenige Beispiele, für die die asymptotische Lückenverteilung bekannt ist, wobei teilweise Fortschritte durch die Arbeiten von Elkies, McMullen, Rudnick, Strömbergsson, Aistleitner, Marklof und anderen erzielt wurden. Das Ziel des ersten Teils des Projekts ist es, die Lückenverteilung quadratischer Monome zu untersuchen, indem eine Reihe einfacherer Probleme betrachtet werden, darunter kleinere Grade und metrische Eigenschaften, die mit Methoden aus der analytischen Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, diophantischen Approximation und homogenen Dynamik behandelt werden können. Der zweite Teil des Projekts befasst sich mit der Sarnak-Vermutung, die besagt, dass jede Folge aus einem Null-Entropie-Dynamiksystem orthogonal zur Möbius-Funktion ist. Obwohl die Vermutung in zahlreichen spezifischen Fällen verifiziert wurde, ist sie im Allgemeinen noch offen. Ein besonders interessantes Beispiel sind automatische Folgen, wie die Thue-Morse-Folge, bei der bedeutende Fortschritte durch die Arbeiten von Mauduit, Rivat, Drmota, Müllner und Spiegelhofer erzielt wurden. Ziel dieses Projekts ist es, deren Ergebnisse auf komplexere Fälle auszudehnen, wie morphische Folgen, Schnittmengen mehrerer automatischer Mengen und Teilfolgen entlang von Polynomen höheren Grades.