Die modifizierte Camassa-Holm-Gleichung via Riemann-Hilbert

1993 stellten Roberto Camassa und Darryl Holm eine Gleichung vor, die die Wellenausbreitung im flachen Wasser modelliert und als Camassa-Holm-Gleichung (CH) bezeichnet wird. Diese Gleichung zeichnet sich durch ihre Fähigkeit aus, Phänomene zu beschreiben, die von den klassischen Wellentheorien nicht erfasst werden, insbesondere das Auftreten von nicht-glatten Lösungen, den so genannten Peakons. Die CH-Gleichung ist bekannt für ihre Integrierbarkeit und die reichhaltigen mathematischen Strukturen, die das Interesse an ihrer Untersuchung und der Erforschung ihrer Verallgemeinerungen und Modifikationen, einschließlich der modifizierten Camassa-Holm-Gleichung (mCH) und des modifizierten Zweikomponenten-Camassa-Holm- Systems (2-mCH), geweckt haben. Die Hauptobjekte des Projekts sind die mCH-Gleichung und die 2-mCH. Die Hauptziele des Projekts sind: 1) die Untersuchung der globalen Existenz der Lösung des Cauchy-Problems für die mCH- Gleichung auf der Geraden, wenn angenommen wird, dass sich die Lösung zwei verschiedenen Konstanten bei den verschiedenen Unendlichkeiten der räumlichen Variablen annähert; 2) die Untersuchung der Langzeit-Asymptotik für die mCH-Gleichung, wenn angenommen wird, dass sich die Lösung bei den verschiedenen Unendlichkeiten der räumlichen Variablen zwei verschiedenen Konstanten annähert; 3) die Entwicklung des RH-Ansatzes für die 2-mCH-Gleichung auf der Geraden für den Fall, dass angenommen wird, dass sich die Lösung bei beiden Unendlichkeiten der Raumvariablen Konstanten nähert, die nicht Null sind. Um unsere Forschungsziele zu erreichen, werden wir die Methode der inversen Streutransformation (IST) in Form des Riemann-Hilbert-Problems (RH) anwenden. Die Besonderheit der Studie besteht darin, dass wir diese Gleichungen im Fall von nicht verschwindenden Randbedingungen im Unendlichen betrachten, ein Szenario, das einzigartige analytische Herausforderungen mit sich bringt. Die primär beteiligten Forscher sind Iryna Karpenko (leitende Forscherin) und Roland Donninger (Mentor). Das Projekt profitiert von der Zusammenarbeit mit Experten wie D. Shepelsky, G. Teschl, I. Egorova, V. Kotlarov und J. Eckhardt, von denen jeder wertvolle Fachkenntnisse auf dem Gebiet der inversen Streutransformation, des Riemann-Hilbert-Ansatzes für integrierbare nichtlineare Gleichungen und der Asymptotik für Solitongleichungen mitbringt.