Rationale Numerische Systems und Rauzy Fraktale

Ein Numerierungssystem ist eine Methode, um Zahlen als Zeichenfolgen von Ziffern bezüglich einer Basis darzustellen. Üblicherweise verwenden wir das Dezimalsystem (also Basis , aber andere Basen wie 2 oder 60 sind ebenfalls bekannt. Numerierungssysteme können auch in höherdimensionalen Kontexten existieren: Zum Beispiel haben komplexe Zahlen zwei Koordinaten und werden daher in einer Ebene dargestellt. Die Verwendung einer komplexen Zahl als Basis ermöglicht es, Punkte in der Ebene ebenfalls als Ziffernfolgen auszudrücken. Die Arbeit mit höheren Dimensionen hat ein interessantes Ergebnis: Wir stellen fest, dass Numerierungssysteme eng mit Figuren, die als Fraktale bekannt sind, verwandt sind. Fraktale sind komplizierte Formen mit der Eigenschaft, dass bei starker Vergrößerung ähnliche Muster auf unendlich kleinen Skalen auftauchen; zudem können sie sehr schön sein. Bei der Arbeit mit einem Numerierungssystem kann man es mit einer fraktalen Menge assoziieren, deren geometrische Eigenschaften Aufschluss über die zugrundeliegenden arithmetischen Eigenschaften des Systems geben. Dieses Projekt konzentriert sich auf eine bestimmte Art von Numerierungssystem, bei dem die Basis eine algebraische Zahl ist, also eine komplexe Zahl, die eine relativ einfache Gleichung erfüllt. Einige der Fragen, die wir beantworten möchten, sind: Wie kann man eine komplexe Zahl in einer algebraischen Basis entwickeln? Wie sehen diese Ziffernentwicklungen aus? Wann sind diese Entwicklungen eindeutig, endlich oder periodisch? Wie kann man eine fraktale Menge mit dieser Art von Numerierungssystem assoziieren, und welche Eigenschaften erfüllt das Fraktal? Um diese Fragen zu beantworten, verwenden wir eine spezielle Art von Zahlen, die als p-adische Zahlen bekannt sind. Es gibt noch andere Arten von Ziffernentwicklungen, die unter Mathematikern von Interesse sind, nämlich solche, die durch Kettenbruchalgorithmen oder durch symbolische Substitutionen entstehen. Diese Entwicklungen sind ebenfalls mit Fraktalen verwandt, insbesondere mit einer Familie von Mengen, die als Rauzy-Fraktale bekannt sind. Eine zentrale Linie des Projekts ist es, diese Familie zu erweitern, indem wir einen speziellen Fall von Substitutionen, die sogenannten nicht-unimodularen Substitutionen, betrachten. Idealerweise könnten diese Substitutionen und die zuvor erwähnten Numerierungssysteme in algebraischen Basen in einem gemeinsamen Rahmen zusammengeführt werden. Ein weiteres Ziel des Projekts wäre es, dreidimensionale Darstellungen der Fraktale mithilfe von 3D- Druckern und Laserschneidern zu erstellen. Ein schöner Aspekt dieser Mengen ist, dass sie oft zusammenpassen und ein Puzzle bilden können, was nicht nur Spaß macht, sondern auch eine schöne Möglichkeit ist, Menschen an das Thema heranzuführen.