Themen zu Stabilität, Interpolation und Erweiterungen

Dieses Forschungsprojekt konzentriert sich auf die Lösung von Schlüsselproblemen an der Schnittstelle zweier Bereiche der Mathematik: der Funktionalanalysis, der Untersuchung von Funktionen und Funktionsräumen, und der harmonischen Analyse, die Phänomene periodisch wiederkehrender Natur analysiert. Beide Gebiete haben wichtige Anwendungen in verschiedenen Bereichen, unter anderem in der Physik, den Ingenieurwissenschaften und der Informatik. In unserer Arbeit werden wir drei zentrale Themen erforschen, von denen jedes zu wertvollen Erkenntnissen und neuen Wegen zur Bewältigung praktischer Herausforderungen führen könnte. Das erste Ziel ist die Untersuchung einer Art von mathematischen Strukturen, die als Operator-Halbgruppen bekannt sind und mit deren Hilfe beschrieben werden kann, wie sich bestimmte Systeme oder Prozesse im Laufe der Zeit entwickeln. Solche Objekte tauchen praktisch in jedem Bereich der Mathematik auf und modellieren Dinge wie die Verteilung von Wärme, die Verbreitung von Informationen in Netzwerken oder die Entwicklung von Aktienmärkten. Wir wollen neue Methoden entwickeln, um zu verstehen, wie stabil und vorhersehbar diese Systeme langfristig sind, sowohl in qualitativer als auch in quantitativer Hinsicht. Konkret geht es uns darum, Wege zu finden, um zu erkennen, ob ein Prozess, abgesehen von einigen Singularitäten, ausstirbt, und wenn ja, mit welcher Geschwindigkeit. Angenommen, man hat eine diskrete Ansammlung von Punkten auf der komplexen Ebene und für jeden Punkt gibt es einen zugehörigen Wert, der bestimmte Wachstumsgrenzen einhält. Im zweiten Teil dieses Projekts wollen wir Bedingungen bestimmen, die die Existenz einer vollständigen Funktion garantieren, die diesen Werten an den jeweiligen Punkten entspricht und gleichzeitig die Wachstumsgrenzen in der gesamten Ebene widerspiegelt. Die derzeitigen Methoden beruhen oft auf restriktiven Bedingungen, und wir wollen diesen Prozess anpassungsfähiger machen. Solche Ergebnisse könnten dann in der harmonischen Analyse angewendet werden, insbesondere bei der Zerlegung komplexer Signale oder Funktionen in diskrete Teile. Solche Techniken sind aus praktischer Sicht unerlässlich, zum Beispiel bei der Datenkompression oder der Bildverarbeitung. Schließlich sollen neue diskrete Verfahren entwickelt werden, um zu erkennen, wann Funktionen einen nahezu optimalen zeitlichen und frequenzmäßigen Zerfall aufweisen. Solche Signale, deren Information sich hauptsächlich in einem endlichen Zeitintervall konzentriert und die sich sehr regelmäßig verhalten, kommen in der Quantenmechanik häufig vor. Daher eignen sich unsere Erkenntnisse für eine Reihe von Problemen in diesem Bereich, zum Beispiel bei der Untersuchung der Lösbarkeit der Schrödinger-Gleichung. Darüber hinaus ist unser Rahmen eng mit der Existenz und Optimalität von Gabor-Rahmen verbunden, die Signale in diskrete Werte zerlegen.