Inhomogene Wachstumsprobleme mit linearem Wachstumsterm

Das Hauptziel der Variationsrechnung ist es, Minima von Funktionen zu finden, die auf unendlich dimensionalen Objekten definiert sind. Dieser Zweig der Mathematik tauchte erstmals im Zusammenhang mit der mathematischen Physik auf. Bereits von Euler und Lagrange wurde im 18. Jahrhundert beobachtet, dass das Verhalten von Systemen, die von partiellen Differentialgleichungen beherrscht werden, oft äquivalent durch ein Minimierungsproblem beschrieben werden kann. Dies ist die Grundlage für die Anwendung von Variationsmethoden auf Probleme der Physik. Die oben erwähnten unendlichdimensionalen Objekte sind Funktionenräume und das minimierte Objekt ist ein Funktional, dessen Eingabe eine Funktion und dessen Ausgabe eine Zahl ist. Ein typisches Beispiel ist der Wärmefluss, wenn das entsprechende Funktional das Integral über das Quadrat des Gradienten einer Funktion ist. Bei jedem Problem an der Schnittstelle von Variationsrechnung und partiellen Differentialgleichungen gibt es drei wesentliche Fragen. Die erste ist die Existenz von Lösungen in einer richtig ausgewählten Klasse. Die zweite ist die Eindeutigkeit von Lösungen in dieser Klasse und die dritte ist ihre Regularität. Dieser letzte Begriff deckt alle zusätzlichen Eigenschaften der Lösung ab, zum Beispiel Glätte, Energieschranken oder Grenzverhalten. Dies gilt sowohl für elliptische Probleme (Modellierung stationärer Zustände) als auch für parabolische Probleme (Evolution in der Zeit). Es stellt sich heraus, dass viele Eigenschaften von Lösungen von der Wachstumsrate des minimierten Funktionals abhängen. Die meisten modernen Techniken eignen sich am besten für den Fall, dass das Wachstum durch eine Potenz größer als 1 gegeben ist. Wir geben zwei Beispiele, die nicht in diese Kategorie fallen: wenn das Funktional ein lineares Wachstum hat und wenn das Wachstum inhomogen ist, d.h. es kann von Ort oder Richtung abhängen. In diesem Projekt untersuchen wir Probleme, die an der Schnittstelle zwischen diesen beiden Fällen liegen: parabolische und elliptische Probleme, die sowohl inhomogenes Wachstum als auch lineares Wachstum aufweisen, d.h. in den zugehörigen Funktionalen gibt es einen Term mit linearem Wachstum und einen Term mit schnellerem Wachstum. Sie sind relevant für Modelle des Kristallwachstums, von Bingham-Flüssigkeiten und in Algorithmen in der Bildverarbeitung. Bis jetzt gibt es nur sehr wenige eindeutige Ergebnisse zu solchen Problemen. Wir planen Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von Lösungen zu untersuchen und dies durch eine Analyse qualitativer Eigenschaften von Lösungen wie Bildung von Facetten oder ungefähres Verhalten von Lösungen für Evolutionsprobleme über lange Zeiträume zu ergänzen. Das zugrunde liegende Thema ist, dass es einen Konkurrenz zwischen dem linearen Term und dem superlinearen Term gibt: ersterer begünstigt Phasenübergänge und die Bildung von Diskontinuitäten, während letzterer regulierende Eigenschaften haben kann.

Das Projekt befasst sich mit dem Gebiet der Variationsrechnung. Dabei handelt es sich um einen Zweig der Mathematik, dessen Hauptziel darin besteht, Minima von Funktionen zu finden, die auf unendlich dimensionalen Objekten definiert sind. Es steht in engem Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen durch die Euler-Lagrange-Gleichungen. Dies ermöglicht die Anwendung von Variationsmethoden bei Problemen unter anderem in der Physik, Geometrie und Bildverarbeitung. Die Hauptschwierigkeit des Projekts ergibt sich aus der folgenden Tatsache: Die untersuchten Funktionale (Objekte, deren Eingabe eine Funktion und deren Ausgabe eine Zahl ist) erfüllen nicht die klassischen Bedingungen für das Wachstum des Funktionals. Die meisten modernen Techniken eignen sich am besten für Fälle, in denen das Wachstum durch eine Potenz größer als 1 gegeben ist. Der Schwerpunkt des Projekts liegt jedoch auf Fällen, in denen die Funktion sowohl ein inhomogenes Wachstum (d. h. ihre Wachstumsrate kann vom Ort oder der Richtung abhängen) als auch ein lineares Wachstum aufweist. Daher lagen zu Beginn des Projekts nur sehr wenige Ergebnisse vor. Dies gilt sowohl für elliptische Probleme als auch für parabolische Probleme, die jeweils stationäre Zustände und zeitliche Entwicklungen modellieren. Daher betrifft die erste Art von Ergebnissen die Wohlgestelltheit für verschiedene Arten von Variationsproblemen und Evolutionsgleichungen, einschließlich der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen. Während viele der Ergebnisse in einem allgemeineren Rahmen angegeben sind, lassen sich unsere Modellprobleme in die folgenden drei Typen einteilen. Im ersten Fall weist die Funktion in einem bestimmten Bereich des Umgebungsraums ein lineares Wachstum und außerhalb dieses Bereichs ein schnelleres Wachstum auf; unsere wichtigsten Beispiele sind die Zwei-Phasen- und die Modelle mit variablem Exponenten. Die zweite ist, dass die Funktion in verschiedenen Richtungen unterschiedliche Wachstumsraten aufweist, mit linearem Wachstum in mindestens einer Richtung, was zum sogenannten anisotropen p-Laplacian führt. Die dritte Art sind Probleme auf diskreten Strukturen wie Graphen oder Netzwerken, bei denen das anisotrope Wachstum in die Beschreibung der Struktur eingebettet ist. Eine zweite Art von Ergebnissen, die in diesem Projekt erzielt wurden, betrifft das qualitative Verhalten von Lösungen. Für die im vorigen Absatz beschriebenen Probleme haben wir hauptsächlich ihre Regularität und Asymptotik untersucht. Mit anderen Worten: wir haben überprüft, ob die Lösung zusätzliche Eigenschaften wie Glattheit oder lokale Energiegrenzen aufweist, oder ihr Verhalten für große Zeiträume (bei Evolutionsproblemen) beschrieben. Darüber hinaus haben wir mehrere Ergebnisse zur Charakterisierung von Lösungen nachgewiesen, wodurch wir eine Reihe von überprüfbaren Bedingungen bereitstellen können, die eine Lösung eindeutig beschreiben. Daraus haben wir weitere Informationen über die Struktur von Lösungen abgeleitet, insbesondere in diskreten Umgebungen. Vor allem im Fall einer zweiphasigen Energie haben wir diese Charakterisierung genutzt, um ein neues Denosing-Modell für die Bildverarbeitung zu entwickeln, das gleichzeitig die vorhandenen Diskontinuitäten innerhalb des Bildes beibehält und den sogenannten Staircasing-Effekt vermeidet.