Exponentielles Wachstum bei kanonischen Systemen

Kanonische Systeme sind Differentialgleichungen gewisser Gestalt welche oft in den Naturwissenschaften auftreten. So zum Beispiel in der Hamiltonschen Mechanik, wo sie die Bewegung eines Partikels unter dem Einfluss eines zeitabhängigen Potentials beschreiben, oder als Verallgemeinerungen von Sturm-Liouville Problemen bei dem Studium einer schwingenden Saite mit inhomogener Massenverteilung. Ein kanonisches System ist gegeben durch eine lokal integrierbare Funktion mit positiv semidefiniten reellen Matrizen als Werten, ihren Hamiltonian. Jedes kanonische System ist mit einer Kette von Hilberträumen ganzer Funktionen verbunden, die dem System zugeordneten de Branges Räume. Die Theorie dieser Räume spielt eine wesentliche Rolle bei der Untersuchung des Spektrums eines kanonischen Systems. Zum Beispiel ist sie die Basis für den grundlegenden inversen Spektralsatz, welcher besagt dass der Hamiltonian eines Systems durch das Spektralmass im wesentlichen eindeutig bestimmt ist. Da die Elemente der zugeordneten de Branges Räume ganze Funktionen sind, stellt sich in natürlicher Weise die Frage das Wachstum dieser Funktionen (insbesondere exponentielle Ordnung und Typ) zu untersuchen und Wachstumseigenschaften mit Eigenschaften des Hamiltonians in Verbindung zu setzten. Von einigen Spezialfällen abgesehen, ist das einzige bekannte allgemeine Resultat, dass alle Funktionen von Ordnung höchstens 1 sind und endlichen Exponentialtyp haben, wobei sich dieser durch eine einfache Formel aus dem Hamiltonian berechnen lässt. Ziel dieses Projektes ist es quantitative Zusammenhänge zwischen Hamiltonian und Wachstum herzustellen, welche sich auf kleine Ordnungen oder auf verfeinerte Ordnungen beziehen. Weiters wollen wir die Konsequenzen solcher Relationen für die Spektraltheorie kanonischer Systeme studieren. Das grundlegene Problem gliedert sich in drei Aufgaben: Abschätzungen für das Wachstum durch den Hamiltonian (direkte Problem), Charakterisierung jener Hamiltoniane deren zugeordnete de Branges Räume gewisses Wachstum besitzen oder nicht überschreiten (inverses Problem), Abschätzung oder genaue Bestimmung des Wachstums durch die dem Hamiltonian zugeordnete Spektralfunktion. Insbesondere führen Antworten auf diese grundlegenden Fragen zu Aussagen über das asymptotische Verhalten von Eigenwerten, falls das Spektrum des Systems diskret ist. Einige Spezialfälle kanonischer Systeme sind von besonderem Interesse, zum Beispiel können Jacobi Matrizen und Schrödinger Operatoren als kanonische Systeme aufgefasst werden. Erstere sind eng mit dem klassischen Momentenproblem verbunden, zweitere sind grundlegende Objekte in der Quantenmechanik. Die allgemeinen Sätze sollen auf diese Situationen angewandt werden. Die zur Lösung der genannten Fragen potenziell eingesetzen Methoden stammen aus verschiedenen Gebieten der Analysis. Einerseits aus der Theorie von Differentialoperatoren (Volterra-Operatoren, Variationsprinzipien, Levinson Sätze), andererseits aus der Funktionentheorie (Wachstum und Nullstellenverteilung, singuläre Integrale, subharmonische Funktionen), und aus der Funktionalanalysis (Räume mit reproduzierenden Kern, Kreinsche Theorie ganze Operatoren, Resolventenmatrizen).

Kanonische Systeme sind Differentialgleichungen die häufig in den Naturwissenschaften auftreten. Sie werden durch eine Funktion beschrieben: ihren Hamiltonian. In der Mechanik modellieren sie die Bewegung eines Partikels unter dem Einfluss eines zeitabhängigen Potentials (und dieses Potential bestimmt den Hamiltonian), oder die Bewegung einer schwingenden Saite mit inhomogener Massenverteilung (und diese Massenverteilung bestimmt den Hamiltonian). Eine diskrete Variante tritt in der Wahrscheinlichkeitstheorie auf, nämlich bei der Untersuchung der Potenzmomente eines Maßes (und diese Momente bestimmen den Hamiltonian).Eigenwerte des Systems stellen Zustände des Systems dar, die im Laufe der Zeit ihre Amplitude andern, aber sonst stabil bleiben. Für eine schwingende Saite, bestimmen die Eigenwerte den Grundton und die Obertöne der Saite. Die asymptotische Verteilung der Eigenwerte des Systems steht in enger Beziehung zum Wachstum der Losung des Systems. Ziel dieses Projektes war es quantitative Beziehungen zwischen dem Hamiltonian und dem Wachstum der Losung herzustellen.Das Studium von Systems teilt sich in zwei Richtungen.(1) Direkte Probleme: wir wissen theoretisch wie das System funktioniert, und wollen aus seinem Zustand die zukünftige Entwicklung voraussagen. (2) Inverse Probleme: wir haben, aus der Erfahrung oder aufgrund von Messungen, Information darüber wie sich das System verhalt, und wollen die Regeln aufdecken die seine Funktion beschreiben.Ein großer Teil unserer Untersuchungen hat sich der genannten diskreten Variante und den Potenzmomenten eines Maßes beschäftigt. Wir konnten allgemeine Abschatzungen für die Eigenwertasympotik finden, und, falls sich der Hamiltonian nicht zu irregulär verhält, diese genau bestimmen. Ein weiterer wesentlicher Fortschritt war die Entwicklung einer Methode ein gegebenes System in ein algebraisch einfacheres, welches jedoch zu indefiniten Skalarprodukten Anlass gibt, zu transformieren. Beide dieser Aspekte beschäftigen sich mit dem direkten Problem. Betreffend inverser Probleme, haben wir Stabilitätssätze gezeigt, mit deren Hilfe kleine Verschiebungen und kleine additive Störungen kontrolliert werden können. Stabilitätsresultate sind von besonderer Bedeutung in Anwendungen; man denke zum Beispiel an Messungenauigkeiten.