Bewertungen auf Gitterpolytopen

Das Konzept der Bewertung ist grundlegend in der Geometrie. Eine Bewertung ist eine Funktion, die auf Mengen definiert ist, und additiv in Bezug auf Vereinigungen und Durchschnitte ist. Das Volumen ist ein Beispiel. Zu den zahlreichen weiteren Beispielen gehören die Oberfläche und allgemeiner die inneren Volumina sowie die Anzahl von Punkten mit ganzzahligen Koordinaten in einer Menge. Bewertungen treten auf natürliche Weise in viele Problemen auf. Anwendungen in der Integralgeometrie und den geometrischen Wahrscheinlichkeiten sind klassisch. Seit kurzem werden Bewertungen auch erfolgreich in den Materialwissenschaften, der Astronomie und der Tomographie angewendet. Ein Gitterpolytop ist die konvexe Hülle von endlich vielen Punkten mit ganzzahligen Koordinaten. Solche Mengen treten in zahlreichen Anwendungen insbesondere in der Optimierung und in der Kristallographie auf. Innerhalb der Mathematik spielen Gitterpolytope in der Zahlentheorie und als sogenannte Newton-Polytope in der algebraischen Geometrie eine wichtige Rolle. Vor kurzen haben die beiden Projektleiter in einer gemeinsamen Arbeit grundlegende Resultate über Bewertungen auf Gitterpolytopen herleiten können. Während die Theorie der Bewertungen auf konvexen Körpern sich in den letzten Jahren rasant entwickelt hat, stellt diese gemeinsame Arbeit den ersten neuen Klassifikationssatz seit dem bedeutenden Satz von Betke und Kneser aus dem Jahr 1985 dar. Das Ziel des Projektes ist eine systematische Untersuchung von Bewertungen auf Gitterpolytopen sowie die Herleitung von grundlegenden Klassifikationssätzen für solche Bewertungen. Solche Resultate werden in der Zahlentheorie, der diskreten Geometrie und anwendungsnahen Gebieten von Bedeutung sein.

Das Konzept der Bewertung ist grundlegend in der Geometrie. Eine Bewertung ist eine Funktion, die auf einer Klasse von Mengen definiert ist und additiv in Bezug auf Vereinigungen und Durchschnitte ist. In dem Projekt werden Bewertungen auf Gitterpolytopen betrachtet. Dabei ist ein Gitterpolytop die konvexe Hülle von endlich vielen Punkten mit ganzzahligen Koordinaten im n-dimensionalen Raum. Gitterpolytope sind in der Geometrie, in Optimierungsproblemen, in der diskreten Mathematik und in der Zahlentheorie, speziell in der Geometrie der Zahlen, von großer Bedeutung. Das Volumen und die Anzahl der Gitterpunkte in einem gegebenen Polytop sind wichtige Bewertungen auf dem Raum der Gitterpolytope. Bewertungen treten auf natürliche Weise in viele Problemen auf. Anwendungen in der Integralgeometrie und den geometrischen Wahrscheinlichkeiten sind klassisch. Seit kurzem werden Bewertungen auch erfolgreich in den Materialwissenschaften, der Astronomie und der Tomographie angewendet. Dabei werden speziell auch Vektor- und Tensor-Bewertungen auf konvexen Mengen verwendet. Diese neue Theorie wurde im Rahmen des Projektes erfolgreich auf Bewertungen auf Gitterpolytopen ausgedehnt. Speziell wurden die sogenannten Reziprozitätstheoreme von Ehrhard und Macdonald und der wichtige Klassifizierungssatz von Betke und Kneser für Tensor-Bewertungen in wichtigen Fällen bewiesen und Beiträge zum Positivitätssatz von Stanley für Tensor-Bewertungen gemacht.