Topologie von planaren und höher dimensionalen selbstreplizierenden Pflastern

Es handelt sich um ein gemeinsames Forschungsprojekt mit Prof. Shigeki AKIYAMA (Tsukuba, Japan) im Rahmen einer JSPS / FWF Kollaboration. Neben der internen Kollaboration Japan/Österreich sind weitere internationale Kollaborationen (China, Frankreich, Japan, Korea, USA) vorgesehen. Fraktale sind Gestalten, die bei jeder Vergrößerung Kopien ihrer selbst erscheinen lassen: Schneeflocken, Kristale, Küstenlinien, Karfiole, usw. Seit der Einführung eines mathematischen Rahmens durch Mandelbrot in 1975, finden Fraktale zahlreiche Anwendungen in Graphischer Kunst, Computergrafik, Medizin, Physik,... Fraktale treten in vielen Gebieten der Mathematik in natürlicher Weise auf. Sie beschreiben das chaotische Verhalten von Polynomen in komplexer Dynamik (Julia und Mandelbrot Mengen), bilden Fundamentalbereiche von Ziffernsystemen (Knuth Drache), nützen der geometrischen Darstellung von diskreten dynamischen Systemen (Substitution-Pflaster oder Rauzy Fraktale). Folglich führt die topologische Untersuchung der Fraktale zur Lösung von Problemen aus vielen Bereichen der Mathematik wie diskrete Geometrie, Zahlentheorie, Maßtheorie. Allerdings sind Fraktale komplexe Objekte: dies erschwert die Untersuchung und erfordert Methoden aus der komplexen Analysis, Fraktalgeometrie, Automatatheorie. Das vorliegende Projekt widmet sich der Topologie von fraktalen Mustern mit einer Überdeckungseigenschaft: die Muster liefern natürliche Überdeckungen des d-dimensionalen Raumes. Untersuchungen von zweidimensionalen Fraktalen mit wilder Topologie sind in der Literatur für einzelne Beispiele zu finden, jedoch fehlt es an Werkzeugen, die eine systematische, algorithmische und tief eingehende Untersuchung ermöglichen könnten. Auch wurden bis heute drei- oder höherdimensionale Fraktale aufgrund der immer komplizierter werdenden Struktur kaum betrachtet. Wir wollen diese Probleme angehen. Zu diesem Zweck beabsichtigen wir die Entwicklung 1) von neuen Methoden und Algorithmen zur Charakterisierungen und zur Klassifikation von höherdimensionalen Fraktalen; 2) von einer Parametrisierungsmethode, um den Zugang auf tiefere topologische Eigenschaften planarer Fraktale systematisch zu ermöglichen; 3) von neuen Klassen von Fraktalen, insbesondere in Zusammenhang mit Substitutionen durch das Abschwächen der üblichen Voraussetzungen oder mit weiteren diskreten dynamischen Systemen in Verbindung mit zahlentheoretischen Problemen.

In diesem Projekt wurden neue Methoden zur Untersuchung von Fraktalen entwickelt. Die behandelten Objekte haben eine selbstreplizierende Struktur: sie enthalten verkleinerte Kopien ihrer selbst (Schneeflocken, Kristalle, Küstenlinien, Karfiole, Wolken, sind Beispiele von Fraktalen in der Natur). Sie treten in manchen Gebieten der Mathematik auf: in Chaostheorie als Attraktoren dynamischer Systeme, in Zahlentheorie, in diskreter Geometrie, Sie haben zahlreiche Anwendungen, wie Bildkompression, Computer Grafik, Diffusionsprozesse, Dank diesem Projekt konnten große Klassen von Fraktalen nach ihren topologischen Eigenschaften klassifiziert werden. Weiters studierten wir Pflasterungen, die durch Pflastersubstitution entstehen (das Penrose Tiling ist ein bekanntes Beispiel davon). Wir konnten Antworten auf wesentliche Fragen bezüglich der geometrischen Realisierung des zugrundeliegenden dynamischen Systems und der Beziehung zu einer Art von Ordnung in der Pflasterung hervorbringen. Die Schwierigkeit bei der Untersuchung solcher Pflaster liegt in der fraktalen Struktur ihrer Ränder. Das erfordert Methoden aus der Fraktalgeometrie, diskreten Geometrie, komplexen Analysis, Pflasterungstheorie und Automatatheorie. Einzelne Beispiele von Fraktalen mit wilder Topologie werden in der Literatur betrachtet, jedoch mangelte es zu Beginn des Projektes an Werkzeugen, um die Analysis systematisch und algorithmisch durchzuführen. Im Projekt erfolgte die Klassifizierung mehrerer Familien von Fraktalen. Wir haben zudem eine neue Methode zur Untersuchung von Substitutionen entwickelt, selbst wenn die herkömmliche Annahme der Irreduzibilität verletzt wird. Dazu machten wir Gebrauch von höher dimensionalen Ergänzungen von Substitutionen und fanden geometrische Darstellungen mit Hilfe von diskreten Flächen, selbstreplizierenden sowie periodischen Pflasterungen durch Rauzy Fraktale. Weiters untersuchten wir Grundeigenschaften von Pflasterungsräumen (engl.: tiling spaces) und fanden einen neuen Zusammenhang zwischen den dynamischen Eigenschaften der korrespondierenden Delone Menge und einem Konzept von Ordnung dieser Menge. Schließlich betrachteten wir die Topologie von allgemeinen kompakten ebenen Mengen und konnten grundlegende Resultate über ihre Kernzerlegung (engl.: core decomposition) erzielen. Das Projekt war Teil eines JSPS/FWF Joint-Projektes. Eine starke Zusammenarbeit mit dem japanischen Partner Shigeki AKIYAMA (Tsukuba) sowie mit nationalen (MU Leoben) und weiteren internationalen Forschungspartnern aus China, Frankreich und Korea trugen zum Erfolg dieses Projektes bei: es konnten nämlich die Topologie-Kenntnisse des österreichischen Teams mit den Kompetenzen des japanischen Teams im Bereich der Dynamik erfolgreich kombiniert werden. Zwei Projekttreffen fanden in St Virgil bei Salzburg statt und ein Symposium über verwandte Themen wurde im Rahmen des ÖMG/DMV Kongresses in 2017 organisiert. Wir erhielten zudem eine ÖAD/ANR Förderung, um unsere Kooperation mit Frankreich in ähnlichen Forschungsthemen zu unterstützen.