Dynamische Methoden in der CR Geometrie

Das Gebiet der Cauchy-Riemann Geometrie (kurz: CR-Geometrie) hat seinen Ursprung in den klassischen Arbeiten von Poincare und Cartan, und wurde später unter anderem von Tanaka, Chern, und Moser weiter entwickelt. CR-Geometrie liegt an der Grenze zwischen verschiedenen mathematischenGebieten(komplexeAnalysis,Differentialgeometrie,und partielle Differentialgleichungen) und zeichnet sich dadurch aus, dass es ein wichtiges Werkzeug in allen diesen Gebieten darstellt. Wir haben in den letzten Jahren in unserer Forschungsarbeit (teilweise gemeinsam mit Rasul Shafikov) eine neue Facette der CR-Geometrie entdeckt, die eine Brücke zu einem weiteren Teilgebiet der modernen Mathematik, der Theorie der Dynamischen Systeme, darstellt. Die so entwickelte Technik ermöglicht es, eine Art Wörterbuch zwischen den Theorien zu finden. Wir nennen diese Technik kurz die CR-DS Technik (Cauchy-RiemannDynamical Systems). Sie hat uns ermöglicht, einige wichtige, lange offene, Fragen der CR Geometrie zu beantworten. Im aktuellen Forschungsprojekt wollen wir die CR-DS Technik in verschiedenen Richtungen erweitern und weiterentwickeln, in Zusammenarbeit mit einem russischen Team, das aus anerkannten Experten in beiden Gebieten zusammengesetzt ist. Wir erwarten auch, dass die gemeinsame Arbeit neue Ergebnisse in der Theorie der analytischen Differentialgleichungen liefern wird.

Im Zuge dieses Forschungsprojekts wurden Probleme der Cauchy-Riemann Geometrie (CR Geometrie) mit Hilfe von Methoden aus dem Gebiet der Theorie der Dynamischen Systeme untersucht, und umgekehrt auch versucht, Dynamische Systeme mit Hilfe von geometrischen Methoden zu studieren. Möglich ist diese Verbindung durch eine Brücke, die es ermöglicht der geometrischen Struktur ein dynamisches System zuzuordnen. Umgekehrt haben die dynamischen Systeme, die dabei auftreten, spezielle Eigenschaften; die Charakterisierung dieser Eigenschaften ist eines der wichtigsten Probleme im Zuge der Verwendung dieser Brücke. Wir werden im folgenden zwei der herausragenden Ergebnisse des Forschungsprojekts zusammenfassen. Eines der grundlegenden Probleme in der CR Geometrie ist die Klassifikation von reellen Hyperflächen in komplexen Räumen unter der Wirkung sogenannter biholomorpher Abbildungen. Diese sind dadurch charakterisiert, dass sie spezielle Differentialgleichungen (nämlich die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen) erfüllen. In einer komplexen Veränderlichen (d.h. für Kurven in der Ebene) ist das Problem eng mit dem Riemann'schen Abbildungssatz verbunden. In mehreren Veränderlichen geht die Untersuchung dieses Problems geht auf Poincaré zurück, der am Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts erkannte, dass es "viele" äquivalente Klassen von Hyperflächen unter dieser Wirkung gibt. Die Klassifizierung von sogenannten strikt pseudokonvexen Hyperflächen gelang Elie Cartan in zwei komplexen Dimensionen schon in den 1930er Jahren, und ist über die oben besprochene Brücke eng mit der Klassifizierung von gewöhnlichen Differentialgleichungen verbunden. Das Problem blieb für reell-analytische Hyperflächen, die eine komplexe Hyperfläche enthalten (sogenannte nicht minimale Hyperflächen) offen. Man erhält nun singuläre Differentialgleichungen, und deren Klassifizierung ist um einiges komplexer. Im Rahmen des Projekts gelang eine zufriedenstellende Lösung dieses Problems, wiederum für den Fall zweier komplexer Veränderlicher. Das zweite Ergebnis, das wir vorstellen wollen, ist auch mit dem biholomorphen Äquivalenzproblem verbunden. Wir müssen dazu kurz erklären, was wir unter einer formalen Äquivalenz verstehen: Es gibt eine (unendliche) Folge rein algebraischer Obstruktionen für zwei gegebene Hyperflächen, um äquivalent zu sein. Eine formale Äquivalenz ist gegeben, wenn diese algebraischen Obstruktionen wegfallen. Das heisst leider noch lange nicht, dass wir auch wirklich in der Lage sind, eine "echte" Abbildung zu konstruieren, die eine wirkliche Äquivalenz herstellt. Wenn die formale Äquivalenz konvergiert, so ist das auf jeden Fall möglich; leider gibt es aber im nicht minimalen Fall sehr wohl divergente formale Äquivalenzen. Uns gelang es, in diesem Fall eine glatte CR Abbildung zu konstruieren, deren Taylorreihe mit der gegebenen formalen Äquivalenz übereinstimmt. Dies ist das erste Ergebnis seiner Art für Abbildungen. Auch dieses Ergebnis wurde mit Hilfsmitteln aus der Theorie der Dynamischen Systeme bewiesen. Insgesamt wurden damit weitere Methoden entwickelt, um die Brücke zwischen CR Geometrie und Dynamischen Systemen erfolgreich zu bestreiten, und einige wegweisende Resultate bewiesen.