Zugänge aus Analysis, Numerik und integrabler Systeme für nichtlineare dispersive PDGI

Dieses mathematische Projekt beschäftigt sich mit der sorgfältigen Analyse von gewissen partiellen Differentialgleichungen, die in folgenden Anwendungen allgegenwärtig sind: Wellenphänomene, Hydrodynamik, nichtlineare Optik (Signalübertragung in optischen Leitern), Plasmaphysik und Bose- Einstein Kondensaten. Eine wichtige gemeinsame Eigenschaft dieser Situationen ist, dass Dissipation durch Dispersion dominiert wird, also grob gesprochen durch das Auseinander-Fließen von Wellenpaketen. Essentielle Eigenschaften dieser Gleichungen sind, dass ihre Lösungen Zonen mit hochfrequenten, modulierten Oszillationen (so genannte dispersive Schockwellen) entwickeln können; dass sie stabile wandernde Wellenlösungen haben können (so genannte Solitonen, die für Informationsübertragung interessant sein können und eine wichtige Rolle im Langzeitverhalten der Lösungen spielen); dass die Existenzzeit von glatten Lösungen endlich sein kann bevor die Lösung explodiert was die Gültigkeit des betrachteten Modells zeitlich limitiert. Das Hauptziel dieses Projekts ist es, ein tiefes analytisches Verständnis für die zentralen Eigenschaften dieser Gleichungen zu erlangen, um neue numerische Werkzeuge für die Anwendungen zu entwickeln. Zu diesem Zweck verwenden wir hybride Zugänge, d.h. eine Mischung von analytischen und numerischen Techniken. Das erlaubt uns andernfalls unbehandelbare Situationen, wie z.B. schnelle Oszillationen oder die Explosion von Lösungen zuverlässig zu behandeln. Die Hauptidee ist dabei, analytische a-priori Informationen über die Lösung auszunützen und komplexe Probleme auf einfachere zu reduzieren, die dann mit den besten verfügbaren numerischen Methoden behandelt werden können. Im Gegenzug liefert diese Vorgangsweise dann auch mehr analytische Informationen über diese wichtigen Phänomene, die nicht nur von mathematischem Interesse sind. Einige der numerischen Techniken (für d-bar Probleme), die im Laufe dieses Projekts entwickelt werden, werden auch für bildgebende Verfahren in der Tomographie verwendet. Das Alleinstellungsmerkmal dieses Projekts ist die Kombination von Techniken aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, insbesondere Analysis und integrabler Systeme, kombiniert mit den aktuellsten numerischen Techniken. Dieser neuartige Zugang ermöglicht bahnbrechende Resultate sowohl in der Analysis als auch hinsichtlich numerischer Methoden, die z.B. in der nichtlinearen Optik und in der Berechnung von Bose-Einstein Kondensaten angewendet werden können.

Nichtlineare dispersive partielle Differentialgleichungen: Nichtlineare dispersive partielle Differentialgleichungen (PDEs) wie z.B. die berühmte Korteweg-de Vries und die nichtlineare Schrödinger Gleichung sind in Anwendungen allegenwärtig, sobald Dispersion über Dissipation dominiert, z.B. in der Hydrodynamik, nichtlinearen Optik, Plasmaphysik, Bose-Einstein Kondensaten, ... Trotz des bemerkenswerten Fortschritts in den letzten 30 Jahren ist die Theorie von dispersiven PDEs weit weniger entwickelt als z.B. die Theorie von Diffusionen; besonders ihre Beschreibung der relevanten Dynamik und trotz ihrer Bedeutung in Anwendungen. Der Grund für die mathematischen Schwierigkeiten in der Behandlung dieser Gleichungen liegt darin, dass die Lösungen einerseits Zonen hoher modulierter Oszillationen haben können (so genannte "dispersive shocks"), andererseits auch stabile "Soliton"-Strukturen oder Dispersion, oder wiederum in endlicher Zeit Singularitäten entwickeln können, obwohl die Anfangsdaten glatt waren. Zusammenfassend sieht man, dass nichtlineare dispersive Gleichungen machen Eigenschaften von hyperbolischen als auch parabolischen Gleichungen haben können. Analytische und numerische Zugänge für nichtlineare dispersive PDEs: Viele wichtige Aspekte in der Hydrodynamik, nichtlinearer und nano-Optik, Bose-Einstein Kondensaten und medizinischer Bildgebung hängen mathematisch mit nichtlinearen dispersiven PDEs zusammen. In diesem Projekt wurden diese PDEs, meist in höheren Dimensionen, untersucht; und zwar mit einer innovativen Kombination von analytischen, geometrischen und numerischen Zugängen und Techniken aus der Theorie integrabler Systeme, die auch auf nicht-integrable PDEs angewendet wurden. Ziel war es, numerische Vorhersagen für neue analytische Erkenntnisse zu verwenden, und mittels analytischer Einsicht innovative numerische Schemata zu konstruieren, die den Anwendungsherausforderungen gewachsen sind. Die numerischen Zugänge für so-genannte "d-bar Probleme" im Kontext von integrablen Systemen in 2D werden bei der Entwicklung von effizienteren Lösern in der elektrischen Impedanztomographie helfen. Von besonderem Interesse ist die asymptotische Beschreibung von dispersiven Schockwellen (also Zonen mit schnellen, modulierten Oszillationen in der Lösung als semiklassischer Limes der Schrödinger Gleichung), von "blow-ups" (also Regularitätsverlust der Lösung in endlicher Zeit), die Konstruktion von exakten Lösungen (besonders Solitonen und "breathers"), so wie deren Stabilität. Wesentlicher Punkt in diesem Zusammenhang war die Entwicklung von effizienten numerischen Techniken mit hoher Genauigkeit. Hauptresultate: Für nichtlineare dispersive PDEs wurden effiziente numerische und analytische Techniken entwickelt, die für elektrische Impedanztomographie direkt anwendbar sind, einer Form von medizinischer Bildgebung, bei der Patienten keiner schädlichen Strahlung ausgesetzt sind. Ziel ist, dass weiterer Fortschritt, analog zur Forschungsrichtung in diesem Projekt, eine allgemeine Verwendbarkeit dieser Technik für das Erkennen von Aneurysmen und Krebs ermöglichen wird. In diesem Kontext wurden auch Zugänge zum Hochleistungsrechnen auf preiswerten GPUs untersucht.