Approximationssätze in Algebra und CR Geometrie

In diesem Projekt studieren wir die Frage, ob sich eine formale holomorphe Abbildung zwischen reellen Objekten in komplexen Räumen durch konvergente holomorphe Abbildungen approximieren lässt. Diese Frage ist mit Michael Artin`s Satz, dass sich jede formale Lösung eines holomorphen Gleichungssystems durch holomorphe Lösungen approximieren lässt, eng verwandt; doch treten in dem Fall den wir studieren wollen echte Obstruktionen zu der Approximationseigenschaft auf: Es gibt reelle Submannigfaltigkeiten komplexer Räume welche sich durch eine formale Abbildung ineinander überführen lassen, aber durch keine konvergente Abbildung. Die Obstruktionen sind subtil und werden typischerweise durch 3 geometrische Strukturen der reellen Objekte beschrieben (die CR Struktur, die Typ-Struktur, und die Nichtdegeneriertheits-Struktur). Positive Resultate haben gezeigt, daß in geometrisch einfachen Situationen (wenn alle oder einige dieser Strukturen in einem geeigneten Sinn gleichmäßig sind) Approximation möglich ist. Im allgemeinen ist dies nicht bekannt. Das Studium dieser Probleme führt zu interessanten Fragen der algebraischen Geometrie, die wir in diesem Projekt, das Forscher aus den Bereichen der Algebraischen Geometrie und der CR Geometrie zusammenführt, aufgreifen werden.

Ein berühmter Satz von Artin besagt, dass jede formale Losung eines Systems analytischer Gleichungen durch analytische Losungen approximierbar ist. In der Theorie der Cauchy-Riemann Mannigfaltigkeiten, welche auf Poincaré zurückgeht, gibt es überraschende Anwendungen dieses Satzes, welche ähnliche Aussagen für Losungen gewisser Systeme partieller Differentialgleichungen bedingt.Im Projekt ging es einerseits darum, die Theorie des Approximationssatzes für die Cauchy-Riemann Geometrie weiter zuganglich zu machen, und andererseits darum, zu versuchen, die Ergebnisse, welche für Cauchy-Riemann Mannigfaltigkeiten bestehen, auf der algebraischen Seite zu interpretieren.Im Projekt wurde eine geometrische Sicht auf die Theorie des Artinschen Approximationssatzes entwickelt, welche für die Anwendung und Weiterentwicklung von großem Wert sein wird. So konnte eine Charakterisierung jener Punkte, an denen die Losungsmenge einer analytischen Gleichung eine besonders schone Form hat, gefunden werden. Einige der Fragestellungen, die wir im Projekt behandelten, mussten leider negative beantwortet werden. So konnten wir zum Beispiel zeigen, dass gewisse allgemeinere Systeme von Gleichungen, welche in den Anwendungen auftauchen, formale Losungen zulassen, aber keine analytischen Losungen besitzen. Die Interpretation und Verschärfung dieser Ergebnisse ist Basis für weitere Forschungsarbeit.