Dynamische Unsicherheitsmodellierung von Finanzmaerkten

Stabilität von Finanzmärkten ist seit dem Beginn der Finanzkrise im Jahr 2007 einThema, das weltweite Beachtung findet und große Aufmerksamkeit von FinanzwissenschaftlerInnen und ExpertenInnen aus Wirtschaft und Politik nach sich zieht. In der Finanzmathematik bildete sich beispielsweise als Folge dessen der Zweig "Robuste Finanzmathematik" heraus, der zum Ziel hat, die Modellierung von Finanzmärkten in Krisenzeiten stabiler zu machen. In diesem Bereich werden durch dieses Projekt zwei wichtige Beiträge geleistet: einerseits die Einbeziehung von bisher fehlenden dynamischen Sichtweisen und Verfahren, anderseits der Ansatz Modell- und Informationsrisiken kombiniert zu sehen und beides gemeinsam zu berücksichtigen. Mathematisch ausgedrückt, bilden wir Modellriskio durch sogenannte Mixture-Modelle bzw. nichtlineare Markov-Prozesse ab. In beiden Ansätzen wird Parameterunsicherheit explizit eingebunden und ihre dynamische Veränderung durch neue Information berücksichtigt. Der Sichtweise, dass Modellrisiko unter anderem eine Folge unzureichender oder falscher Information ist, wird somit Rechnung getragen. Die mathematische Modellierung dieses Informationsrisikos beruht auf zwei Filrationen. Die kleinere Filtration entspricht der Information, die den MarktteilnehmerInnen zur Verfügung steht, während die größere Filtration zusätzlich (idealisierte) Information über unbeobachtete Größen enthält. Preisprozesse werden als an die größere Filtration adaptiert betrachtet, während tatsächliche Beobachtungen aufgrund von unverlässlichen Datenquellen, diskreten und verrauschten Signalen nur in der kleineren Filtration gemacht werden können. Dies erlaubt uns über gängige finanzmathematische Annahmen hinauszugehen und beispielsweise die Semimartingaleigenschaft von Preisprozessen fallen zu lassen. In diesem allgemeinen, Zwei-Filtrationsrahmen untersuchen wir in stetiger Zeit alle grundlegenden finanzmathematischen Fragestellungen wie Fundamentalsätze, Superhedging, stochastische Integration und Modellkalibrierung. Unser Hauptanwendungsgebiet sind Zinsmärkte mit multiplen Zinskurven, die auf Grund der Finanzkrise an immenser Bedeutung gewonnen haben. Diese Märkte sind ein prototypisches Beispiel für Modellunsicherheit, die durch nicht beobachtbare, aber wesentliche Faktoren, in diesem Fall Liquidität und Kreditrisiko, verursacht wird. Sie zeigen darüber hinaus die Notwendigkeit einer neuen finanzmathematischen Formulierung auf, innerhalb der wir die Grundlagen für Fragen und Methoden zur Kalibrierung, Preisbestimmung und Absicherung entwickeln werden.

Angesichts der aktuellen Wirtschaftslage mit hoher Inflation, steigenden Zinsen und der Angst vor einer Rezession, ist die Notwendigkeit robuster und realistischer Modellierung von Finanzmärkten aktueller denn je. Stabilität des Finanzsystems ist zu einem großen Thema geworden, das weltweite Beachtung findet und große Aufmerksamkeit von Finanzwissenschaftler*innen und Experten*innen aus Wirtschaft und Politik nach sich zieht. Im Bereich der Finanzmathematik führte dies bereits unmittelbar nach der Finanzkrise 2007 zur Entstehung eines Zweiges namens "Robuste Finanzmathematik", der darauf abzielt, Modellierung von Finanzmärkten in Krisenzeiten solider zu machen. Das Ziel dieses Projekts bestand darin, zwei wichtige Aspekte in diesem Bereich zu etablieren: Erstens, eine Risikomessung, die die Einschätzungen von Finanzaufsichtsbehörden zur Angemessenheit verschiedener Modelle einbezieht und somit eine vernünftige und angemessene Risikobewertung ermöglicht. Zweitens, die Einführung von Klassen dynamischer und universeller Modelle, basierend auf modernen datengesteuerten Machine Learning Methoden. Diese schaffen die Möglichkeit robuster und zuverlässiger Modellauswahlmechanismen, während fundamentale Prinzipien wie "Arbitragefreiheit" weiterhin garantiert werden können. Mathematisch bilden wir Modellriskio durch sogenannte Mixture-Modelle ab, wobei Parameterunsicherheit und ihre dynamische Veränderung aufgrund neuer Information explizit berücksichtigt werden. Der Sichtweise, dass Modellrisiko unter anderem eine Folge unzureichender oder falscher Information ist, wird somit Rechnung getragen. Indem wir dynamische Modellklassen verwenden, die die sogenannte universelle Approximationseigenschaften erfüllen und im Wesentlichen alle klassischen Modelle approximieren können, berücksichtigen wir im Prinzip alle möglichen Modellrisikoquellen, die jedoch durch neu eingehende Information eingeengt werden können. Unsere Hauptanwendungsgebiete sind die Modellierung von großen Indizes, wie etwa S&P 500 und der zugehörige VIX-Volatilitätsindex, sowie Zinsmärkte. Letztere sind ein prototypisches Beispiel, bei dem Modellunsicherheit durch nicht beobachtbare, aber wichtige Faktoren wie Liquidität oder Kreditrisiko verursacht werden kann. Für solche Märkte haben wir neue finanzmathematische Formulierungen gefunden und im Rahmen unserer Modellklassen die theoretischen Grundlagen für robuste Modellkalibrierung, Preisbestimmung und Hedging entwickelt.