Raumzeitrandelementmethoden für die Wärmeleitgleichung

Zur Berechnung der Temperaturverteilung eines Objekts in einem zeitabhängigen Prozess kann die Wärmeleitgleichung gelöst werden. Herkömmliche Simulationsmethoden berechnen üblicherweise die Änderung in kleinen Zeitschritten. Bei diesem Vorgehen sind sehr viele Berechnungen nacheinander auszuführen, und somit lassen sich die enormen Ressourcen aktueller Supercomputer nicht richtig ausnutzen. Daher benötigen solche Berechnungen meist viel Zeit. Raumzeitverfahren behandeln den betrachteten Zeitraum als Ganzen. Dabei wird ein sehr großes Problem statt einer Folge vieler kleinerer Probleme gelöst. Dies erscheint zunächst schwieriger, bietet aber enormes Potential. Gegenüber der herkömmlichen Vorgehensweise ermöglicht die gleichzeitige Behandlung des gesamten Zeitraums eine zusätzliche Parallelisierung bezüglich der Zeit. Dadurch kann die Berechnung auf mehr Prozessoren aufgeteilt werden, und somit kann das Simulationsergebnis wesentlich schneller berechnet werden. Darüber hinaus wird es möglich, die zu berechnenden Näherungen der Temperatur wesentlich besser an die Situation zu adaptieren. Bei den Randelementmethoden genügt es, zunächst die betrachteten Größen auf der Oberfläche zu berechnen. Anschließend kann die Temperatur dann auch im Inneren bestimmt werden. Obwohl es sich bei den Randelementmethoden für die Wärmeleitgleichung eigentlich um Raumzeitmethoden handelt, wird das Problem bisher immer noch in kleinen Zeitschritten vorwärts gelöst. Dabei wird das oben beschriebene Potential der Methoden nicht ausgenutzt. Im Projekt werden schnelle Verfahren zur Lösung der Raumzeitrandelementmethoden zur Berechnung der Temperaturentwicklung eines Objekts entwickelt. Diese schnellen Methoden werden speziell an die Raumzeitgleichungen angepasst. Hierzu werden auch geeignete Vorkonditionierungs- und Lösungsverfahren entwickelt, da es nicht ohne weiteres möglich ist, den aktuellen Zustand ohne die Kenntnis des vorherigen zu berechnen. Zusätzlich werden auch spezielle Beschreibungen der gesuchten Temperatur umgesetzt, so dass sich die Berechnung wesentlich stärker an die Temperaturverteilung des betrachteten Problems adaptieren lässt. Ein zweiter Schwerpunkt liegt auf der parallelen Implementierung der Verfahren für moderne Supercomputer. Dabei gilt, es verschiedene Stufen der Parallelisierung umzusetzen. Moderne Prozessoren erlauben im Rahmen einer Vektorisierung, dieselbe Berechnung gleich für mehrere Datensätze durchzuführen. Zusätzlich verfügen sie über mehrere Rechenkerne, die gleichzeitig zur Berechnung genutzt werden können. Moderne Supercomputer verfügen über eine Vielzahl an einzelnen Rechner, die dann noch gemeinsam zur Berechnung eingesetzt werden können. Im Projekt werden alle drei Level der Parallelisierung genutzt. Dies muss aber auch bei der Entwicklung der mathematischen Methoden berücksichtigt werden. Am Ende des Projekts wird es durch die entwickelten Methoden möglich sein, die Temperaturverteilung eines Objekts wesentlich genauer und schneller zu berechnen als mit den bisher genutzten herkömmlichen Methoden.

Zur Berechnung der Temperaturverteilung eines Objekts in einem zeitabhängigen Prozess kann die Wärmeleitgleichung gelöst werden. Herkömmliche Simulationsmethoden berechnen üblicherweise die Änderung in kleinen Zeitschritten. Bei diesem Vorgehen sind sehr viele Berechnungen nacheinander auszuführen, und somit lassen sich die enormen Ressourcen aktueller Supercomputer nicht richtig ausnutzen. Daher benötigen solche Berechnungen meist viel Zeit. In diesem Projekt haben wir eine hochparallele Raumzeitrandelementmethode entwickelt, die auf der parabolischen schnellen Multipolmethode aufbaut. Der Raumzeitanzatz ermöglicht eine zusätzliche Parallelisierung bezüglich der Zeitkomponente. Wenn eine Parallelisierung bezüglich der Ortsdiskretisierung an die Grenzen der Beschleunigung der Rechenzeit kommt, kann die Raumzeitparallelisierung die Rechenzeiten weiter verringern. In unserem Algorithmus verwenden wir verteilte Parallelisierung bezüglich der Zeitkomponente und Shared-Memory-Parallelisierung sowie Vektorisierung für jeden einzelnen Rechenknoten. In unseren Beispielen zeigte sich eine fast optimale Skalierbarkeit für bis zu 256 Rechenknoten (6144 Rechenkerne). Zusätzlich ermöglichen Raumzeitmethoden adaptive Verfeinerungen bezüglich der Zeitkomponente und der Ortsdiskretisierung. Diese führen häufig zu kleineren linearen Gleichungssystem und möglicherweise geringen Rechenzeiten als uniforme Diskretisierungen. Allerdings kann es sein, dass es der ursprünglichen schnelle Methode nicht gelingt, die zugehörigen vollbesetzten Matrizen effizient zu komprimieren. Daher haben wir wesentliche Verbesserungen der verwendeten schnellen Methode entwickelt. Unsere neue Methode kann mit stark variierenden Zeitschrittweiten, sehr feinen und auch adaptiven Ortsdiskretisierungen effizient umgehen. Unsere Weiterentwicklungen bringen beträchtliche Verbesserungen gegenüber der ursprünglichen schnelle Methoden und in numerischen Beispielen zeigt sich die Überlegenheit der adaptiven Methode gegenüber der Standardmethode mit uniformer Zeitschrittweite und Ortsdiskretisierung. Unsere hochparallele schnelle Raumzeitrandelementmethode and die Verbesserungen für stark variierenden Zeitschrittweiten und adaptiven Ortsdiskretisierungen sind wesentliche Schritte hin zu adaptiven Raumzeitrandelementmethoden. Ohne die erzielten Fortschritte ist es kaum möglich, adaptive Algorithmen für Randelementmethoden für die Wärmeleitgleichung mit drei Raumdimensionen zu betreiben.