Bewegliche Polyeder und Stabwerke in verschiedenen Räumen

Dieses Projekt behandelt bewegliche Strukturen wie Polyeder und übergeschlossene Stabwerke. Welche Bedingungen sind notwendig und hinreichend für Beweglichkeit, welche metrischen oder kombinatorischen Eigenschaften bleiben konstant während der Bewegung, welche ändern sich? Zur Erinnerung: Ein Polyeder - genauer, eine polyedrische Fläche - heißt beweglich, wenn die räumliche Gestalt allein durch Änderung der Kantenwinkel stetig verändert werden kann während die Seitenflächen zu sich selbst kongruent bleiben. Die Frage, ob die Kantenlängen eines Stabwerkes dessen ebene oder räumliche Form bis auf Bewegungen eindeutig festlegen, ist für viele technische Anwendungen von Bedeutung, nicht nur im Maschinenbau, sondern auch für Biologen bei der Proteinmodellierung oder für Chemiker bei der Analyse von Polymeren. 1897 bewies R. Bricard, dass es genau drei Typen von beweglichen Oktaedern im Euklidischen Raum E3 gibt. Allerdings weisen alle diese Typen Selbstdurchdringungen auf. Erst 1977 konnte R. Connelly eine erste "bewegliche Kugel" konstruieren, also eine bewegliche polygonale Einbettung der 2-Sphäre in den euklidischen Raum E3 . Connellys Beispiel war ebenso wie das später gefundene Beispiel von K. Steffen eine Zusammensetzung von Bricardschen Oktaedern. 1985 bewies R. Alexander, dass sich bei beweglichen Polyedern des E3 die mittlere Krümmung während der Verformung nicht ändert. 1996 bewies I. Sabitov, dass auch das Volumen konstant bleibt. Dies war eine Konsequenz seiner Verallgemeinerung der Heronischen Formel: Zu jedem orientierbaren simplizialen Polyeder im E3 gibt es ein Polynom, dessen Koeffizienten Polynome in den Quadraten der Kantenlängen sind und welches das Volumen als eine Nullstelle besitzt. Dies Polynom hängt nur von der kombinatorischen Struktur des Polyeders ab. 1997 konnte V. Alexandrov zeigen, dass im sphärischen 3-Raum keine derartige Aussage gilt. Ziel des neuen Projektes ist eine systematische Untersuchung der beweglichen Oktaeder und ihrer höherdimensionalen Gegenstücke, der Kreuzpolytope, in euklidischen, elliptischen und hyperbolischen Räumen. Die Vergangenheit hat gezeigt, dass die Oktaeder bei allen bisher bekannten beweglichen Polyedern eine Rolle spielen. Zudem würden neue Beispiele beweglicher Formen zur Klärung der Frage beitragen, ob die Konstanz des Volumens bei beweglichen Polyedern eine Spezialität des euklidischen 3-Raumes ist oder nicht. Insbesondere sollen folgende Hauptprobleme einer Lösung nähergebracht werden: Sind die bisher bekannten drei Typen beweglicher Oktaeder des hyperbolischen Raumes E3 (H. Stachel, 2004) die einzig möglichen? Sind die bisher bekannten Beispiele beweglicher Kreuzpolytope im euklidischen 4-Raum (H. Stachel, 2000) die einzigen beweglichen Kreuzpolytope? Kann bewiesen werden, dass es in euklidischen Räumen der Dimension n > 4 keine beweglichen Kreuzpolytope mehr gibt? Geometrische Analyse und Visualisierung der beweglichen Oktaeder und Kreuzpolytope. Beziehungen zwischen beweglichen Polyedern und Kokotsakis-Meshes, also polygonalen Strukturen mit einem Zentralpolygon, das von einem Gürtel von Polygonen umgeben ist. Eine der erfolgversprechenden Methoden basiert auf dem Satz von Ivory und einer gewissen Umkehrung, einem Konfigurationssatz für bipartite Stabwerke. Diese Kombination war schon erfolgreich bei einem neuen kurzen Beweis für das klassische Ergebnis von R. Bricard.

Dieses Projekt behandelte die Frage, ob und unter welchen zusätzlichen Bedingungen Polyeder oder allgemeiner Stabwerke, die normalerweise starr sind, doch beweglich ausfallen können. Während sich die österreichischen Projektteilnehmer eher mit notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Beweglichkeit derartiger übergeschlossener Strukturen befassten und die auftretenden Mechanismen analysierten, konzentrierten sich die russischen Projektteilnehmer überwiegend auf das Problem, welche metrischen oder kombinatorischen Eigenschaften während einer derartigen Bewegung erhalten bleiben und welche sich ändern? Die österreichischen Teilnehmer waren besonders erfolgreich bei der Analyse jener Stabwerke, die bei parallelen Robotern, sogenannten Stewart-Gough-Plattformen, Verwendung finden. Hier gelang in vielen Fällen eine vollständige Aufzählung jener Typen, bei welchen eine Selbstbewegung möglich ist. Aber auch die Resultate bei der Analyse beweglicher Quad-Meshes, also beweglicher polyedrischer Flächen fanden international Beachtung, auch wenn hier eine vollständige Aufzählung aller beweglichen Fälle, insbesondere aller beweglichen 3x3-Komplexe, der sogenannten Kokotsakis Meshes, noch aussteht. Einen besonderen Durchbruch bei der Analyse geschlossener Gelenksketten mit übergeschlossener Beweglichkeit brachte der überraschende Nachweis, dass hier ein Zusammenhang besteht mit der Primfaktorenzerlegung von Polynomen über dem Ring der dualen Zahlen. Diesem Resultat war auch Ausgangspunkt für eine neue Theorie zur Untersuchung von übergeschlossenen Gelenksketten, der sogenannten Bond Theory, welche auch für das Studium von Stewart-Gough-Plattformen mit Selbstbewegungen adaptiert werden konnte. Offen blieb hingegen die Frage nach den beweglichen Oktaedern im hyperbolischen Raum. Es stellte sich nämlich heraus, dass die für die Problemlösung im Euklidischen so nützliche Umkehrung des Satzes von Ivory im hyperbolischen Raum nicht so ohne weiteres richtig ist. Hier wäre noch eine mühsame Fallunterscheidung notwendig, und dieser ging man aus dem Weg, nachdem sich die Behandlung der vorhin genannten Teilprobleme als viel fruchtbarer erwies und diese augenblicklich auch höhere Aktualität besaßen. Doch soll nicht verschwiegen werden, dass die euklidisch-beweglichen Oktaeder immer wieder bei den Selbstbewegungen der Stewart-Gough-Plattformen hineinspielen und daher gleichfalls nach wie vor aktuell sind. Die von den russischen Projektteilnehmern erzielten Resultate lassen sich in zwei Gruppen teilen: Die algebraische Seite des Problems äußert sich in dem Volumspolynom von Sabitov; in dieser Hinsicht sei vor allem auf einen umfassenden 60-seitigen Übersichtsartikel über bewegliche Polyeder in den höchst angesehenen Russian Mathematical Surveys verwiesen. Die Analysis spielte vor allem bei dem Studium von Bewegungsinvarianten bei übergeschlossenen Polyedern, insbesondere bei Doppelpyramiden (Suspensions) eine Rolle.