Banach Poisson--Lie Gruppen und integrable systems

Breiterer Forschungskontext: Eine der allgegenwärtigen Ideen in der Mathematik ist die Idee der Unendlichkeit. Bei jedem Schritt begegnet man Dingen, die unendlich viele sind - ausgehend von Zahlen, Mengen, Funktionen und so weiter. Eine typische Situation besteht darin, unendlich viele mögliche Zahlen zu haben, die zur Beschreibung eines Problems der realen Welt benötigt werden. Man sagt, dass eine Variable unendlich viele Werte annehmen kann. Diese Einstellung reicht aus, um eine Position eines Partikels auf einer Linie oder einem ebenen Pendel zu beschreiben. Um mehr Bewegungsfreiheit zu haben, müssen jedoch mehrere Variablen dieses Typs verwendet werden. Es erlaubt uns zum Beispiel, eine Bewegung eines Planeten im Sonnensystem (mit 6 Variablen) oder eines starren Körpers (mit 12 Variablen) zu beschreiben. Diese Probleme besitzen normalerweise zusätzliche Strukturen, beispielsweise geometrische oder differenzielle Strukturen, die für die Suche nach Lösungen und die Beschreibung ihres Verhaltens von entscheidender Bedeutung sind. Das typische mathematische Konzept, das in diesem Rahmen benötigt wird, ist eine glatte n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Es kann als Verallgemeinerung des Begriffs einer Oberfläche im Raum auf eine beliebige Dimension angesehen werden. Zusätzlich verwendet man den Begriff einer Lie-Gruppe, um Symmetrien des Problems zu beschreiben. Dieser Ansatz reicht jedoch nicht aus, um kompliziertere Probleme der zeitgenössischen Wissenschaft zu formulieren. Zum Beispiel erfordern Probleme in der Quantenmechanik oder Hydrodynamik eine unendliche Anzahl von Variablen und neue Strukturen sind erforderlich. Wir sagen, dass Räume, in denen diese Systeme leben, unendlich dimensional sind. Anstelle von Geometrie verwendet man normalerweise eine Funktionsanalyse, die ein Zweig der Mathematik ist, der sich mit solchen Räumen befasst. Ansätze: In den letzten Jahren gab es einen Trend, die Methoden der Funktionsanalyse auf die Geometrie anzuwenden, um eine strenge Einstellung für die Hamiltonische Mechanik auf unendlich dimensionalen Mannigfaltigkeiten zu schaffen. Ziel ist es, einen mathematisch konsistenten Rahmen zu schaffen, in dem sowohl die Quantenmechanik als auch integrierbare Systeme untersucht werden können. Ein Forschungsthema betrifft die sogenannten Poisson-Strukturen auf unendlich dimensionalen Mannigfaltigkeiten, die ein Werkzeug sind, das eine elegante Konstruktion von Gleichungen und Bewegungsintegralen für ein System ermöglicht. Es ist jedoch oft sehr schwierig, ein Werkzeug aus der Welt der endlichen dimensionalen Geometrie herauszunehmen und zu versuchen, es in der Welt der unendlichen dimensionalen Geometrie anzuwenden. Ein unkomplizierter Ansatz schlägt normalerweise fehl und es treten unerwartete Probleme auf. Das Verständnis der möglichen Pathologien im unendlichdimensionalen Kontext ist eine Herausforderung, und es ist ein großer Schritt nach vorne, gute nicht triviale Beispiele und Gegenbeispiele für die erwartete Situation zu finden, die wir im endlichdimensionalen Kontext gewohnt sind. Hypothesen / Forschung / Ziele: Eines der ersten Systeme, das von einem geometrischen Ansatz profitierte, war die Korteweg-de-Vries- Gleichung, die Einzelwellen beschreibt, die sich ohne Dissipation im seichten Wasser bewegen (sogenannte Solitonen). Das geometrische Objekt, das Segal und Wilson 1985 zur Beschreibung dieses Systems verwendeten, ist eine unendlich dimensionale Mannigfaltigkeit, die als eingeschränkter Grassmannian bezeichnet wird. Das Verständnis der Hamiltonischen Struktur dieser unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeit steht im Mittelpunkt unserer Forschung. Die Hamiltonische Mechanik ist Teil der Poisson-Geometrie. Die natürliche Wirkung von Lie-Gruppen auf Phasenräume klassischer Systeme führt zur Vorstellung von Poisson- Lie-Gruppen. Für Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden ist es selbstverständlich, das Konzept der Poisson-Lie-Gruppen im Rahmen der Banach-Geometrie zu untersuchen. Strukturen im Zusammenhang mit dem eingeschränkten Grassmannian sind Schlüsselbeispiele für das Verständnis dieser Theorie. Originalität: Die Theorie der Banach Poisson - Lie-Gruppen, die wir untersuchen wollen, ist ein neues Konzept im Kontext der unendlichdimensionalen Geometrie. Durch die Erweiterung des Fréchet-Kontexts können Hamilton-Systeme untersucht werden, die aus Eichentheorien stammen. Die Analyse von Poisson-Strukturen und neuen integrierbaren Systemen, die mit dem eingeschränkten Grassmannian verbunden sind, unter Verwendung moderner geometrischer Werkzeuge ist Teil des Projekts. Diese Studie wird es ermöglichen, das Verständnis der Poisson-Geometrie in der unendlich dimensionalen Umgebung zu verbessern und neue Verbindungen zu anderen bekannten Problemen zu finden. Beteiligte Primärforscher: Alice Barbora Tumpach (WPI, Vienna) and Tomasz Golinski (University of Bialystok, Poland)

Weiterer Forschungskontext: In den letzten Jahren gibt es einen Trend, die Methoden der Funktionalanalysis auf die Geometrie anzuwenden, um einen strengen Rahmen für die Hamilton-Mechanik auf unendlichen dimensionalen Mannigfaltigkeiten zu schaffen. Das Ziel ist es, einen mathematisch konsistenten Rahmen zu schaffen, in dem sowohl Quantenmechanik als auch integrierbare Systeme untersucht werden können. Ansätze: Die Forschung liegt im Bereich der mathematischen Physik und verwendet sowohl Methoden der Differentialgeometrie als auch der Funktionalanalysis. Der Schwerpunkt liegt auf unendlich dimensionalen Entsprechungen von geometrischen Strukturen, die die Grundlage der klassischen Mechanik bilden. Hypothesen/Forschung/Ziele: Die Hamilton-Mechanik ist Teil der Poisson-Geometrie. Die natürliche Wirkung von Lie-Gruppen auf Phasenräume klassischer Systeme führt zum Begriff der Poisson-Lie-Gruppen. Für Systeme mit einer unendlichen Anzahl von Freiheitsgraden ist es naheliegend, das Konzept der Poisson-Lie-Gruppen im Rahmen der Banach-Geometrie zu untersuchen. Strukturen, die mit der eingeschränkten Grassmannschen Mannigfaltigkeit zusammenhängen, sind wichtige Beispiele für das Verständnis dieser Theorie. Wichtigste Ergebnisse: Wir haben die Theorie der Banach-Poisson-Lie-Gruppen und ihre Verbindung zu integrierbaren Systemen entwickelt. Im Mittelpunkt dieser Forschung stehen die Banach-Version von Begriffen im Zusammenhang mit der Theorie der R-Matrizen, Rota-Baxter-Algebren und Nijenhuis-Operatoren, insbesondere in Bezug auf Banach-Poisson-Lie-Gruppen. Der Begriff des Banach-Lie-Poisson-Raums in Bezug auf eine beliebige Dualitätspaarung ist entscheidend dafür, dass die Bewegungsgleichungen Sinn ergeben. Bei Vorhandensein einer invariante, nicht entartete Paarung auf einer Banach-Lie-Algebra können diese Bewegungsgleichungen als Lax-Gleichungen geschrieben werden. Wir beweisen eine Version des Adler-Kostant-Symes-Theorems, die an R-Matrizen auf unendlichen Banach-Algebren angepasst ist. Dieses Theorem wird dann auf Manin-Triple von Banach-Lie-Algebren in Schatten-Klassen angewendet, die mit Iwasawa-Zerlegungen der entsprechenden Gruppen zusammenhängen. Das halbunendliche Toda-Gitter ist ebenfalls in dieser Banach-Theorie enthalten.